人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-正弦函数、余弦函数的性质-基础

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)．【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数)(xfy，定义域为I，当Ix时，都有)()(xfTxf，其中T是一个非零的常数，则)(xfy是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足)()(xfTxf或只差个别的x值不满足)()(xfTxf都不能说T是)(xfy的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期2最小正周期2单调区间k∈Z增区间]2222[kk，减区间]23222[kk，增区间22kk，减区间22kk，最值点k∈Z最大值点(2,1)2k最小值点(2,1)2k最大值点21k，最小值点2,1k对称中心k∈Z0k，(,0)2k对称轴k∈Z2xkxk精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()yx的单调递增区间时，应先将sin()yx变换为sinyx再求解，相当于求sinyx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：正弦型函数sin()yAx和余弦型函数cos()(,0)yAxA的性质．函数sin()yAx与函数cos()yAx可看作是由正弦函数sinyx，余弦函数cosyx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sinyx，余弦函数cosyx类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：,AA（3）单调区间：求形如sin()yAx与函数cos()(,0)yAxA的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函数sinyx，余弦函数cosyx的单调递增（减）区间对应解出x，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Zkkxk解出x的范围所得区间即为增区间，由)(23222Zkkxk解出x的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()yAx和余弦型函数cos()(,0)yAxA不一定具备奇偶性．对于函数sin()yAx，当()kkz时为奇函数，当()2kkz时为偶函数；对于函数cos()yAx，当()kkz时为偶函数，当()2kkz时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()yAx，cos()yAx的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()yAx及函数cos()yAx的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为2T．（6）对称轴和对称中心精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用与正弦函数sinyx比较可知，当()2xkkz时，函数sin()yAx取得最大值（或最小值），因此函数sin()yAx的对称轴由()2xkkz解出，其对称中心的横坐标()xkkz，即对称中心为,0()kkz．同理，cos()yAx的对称轴由()xkkz解出，对称中心的横坐标由()2xkkz解出．要点诠释：若xR，则函数sin()yAx和函数cos()yAx不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数22sincos1yxx的定义域；【答案】2222,33xkxkkZ【解析】为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx－1≥0，即2cos2x―cosx―1≤0，解得1cos12x．画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．∴定义域为2222,33xkxkkZ．【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．举一反三：【变式1】求函数lg(2sin1)yx的定义域【解析】依题意得2sinx－1＞0，即1sin2x，∴52266kxk（k∈Z），∴函数的定义域为522,66xkxkkZ．例2．求下列函数的值域：（1）y=3―2sinx精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）2sin23yx，,66x；（3）cos2cos1xyx．【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2【解析】（1）∵－1≤sinx≤1，∴－2≤2sinx≤2，∴－2≤－2sinx≤2，∴1≤3－2sinx≤5，∴函数的值域为[1，5]．（2）∵66x，∴20233x．∴0sin213x．∴02sin223x，∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．（3）∵cos2cos1111cos1cos11cosxxyxxx，当cosx=－1时，min13122y，∴函数的值域为3,2．【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．举一反三：【变式1】求y=cos2x+4sinx―2的值域．【解析】y=cos2x+4sinx―2=―sin2x+4sinx―1=―(sinx―2)2+3．∵－1≤sinx≤1，∴当sinx=―1时，ymin=―6；当sinx=1时，ymax=2．∴函数的值域为[－6，2]．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3．（2016浙江温州期末）设函数()sin(2)3fxaxb（1）若a＞0，求f（x）的单调递增区间；（2）当[0,]4x时，f（x）的值域为[1，3]，求a，b的值．【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式222232kxk可得答案；（2）由[0,]4x，可得1sin(2)123x，结合题意可得03112aabab或01132aabab，解方程组精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用可得．【答案】（1）5[,]()1212kkkZ；（2）41ab或45ab【解析】（1）∵a＞0，由222232kxk可得51212kxk，∴f（x）的单调递增区间为5[,]()1212kkkZ；（2）当[0,]4x时，52336x，∴1sin(2)123x，∵f（x）的值域为[1，3]，∴03112aabab，或01132aabab，分别可解得41ab或45ab举一反三：【变式1】（2015春河南期中）已知函数1sin()32yx（1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域；（2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间．【答案】（1）T=4π，13[,]22；（2）单调递增区间为：[2,]3和5[,2]3．【解析】（1）由题意函数的周期2412T，∵x∈[0，π]，∴1[,]3263x，∴113sin()[,]3222x，即函数在区间[0，π]上的值域为13[,]22；（2）原函数可化为1sin()23yx，原函数的增区间即为1sin()23yx的减区间，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用令13222232kxk，解得5114433kxk，k∈Z，令k=0，可得51133x，令k=－1，可得733x，∵x∈[－2π，2π]，∴函数的单调递增区间为：[2,]3和5[,2]3．类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4．判断下列函数的奇偶性：（1）5()2sin(2)2fxx；（2）()2sin1fxx；【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()2cosfxx，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．【解析】（1）函数定义域为R，且5()2sin22sin22cos222fxxxx，显然有()()fxfx恒成立．∴函数5()2sin22fxx为偶函数．（2）由2sinx－1＞0，即1sin2x，得函数定义域为52,266kk（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证()fx是否等于()fx或()fx，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．举一反三：【变式】关于x的函数)(xf=sin(x+)有以下命题：①对任意的，)(xf都是非奇非偶函数；②不存在，使)(xf既是奇函数，又是偶函数；③存在，使)(xf是奇函数；④对任意的，)(xf都不是偶函数.精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2kπ，k∈Z时，)(xf=sinx是奇函数.当=2(k+1)π，k∈Z时xxfsin)(仍是奇函数.当=2kπ+2，k∈Z时，)(xf=cosx，当=2kπ-2，k∈Z时，)(xf=-cosx，)(xf都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使)(xf恒等于零.所以)(xf不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，2+kπ(k∈Z)；或者④，2+kπ(k∈Z)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5．（2015春湖南益阳月考）已知函数()2sin(2)4fxx．（1）求函数的最值及相应的x值集合；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合；（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；（3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．【解析】（1）当sin(2)14x，即2242xk，k∈Z，即38xk，k∈Z，此时函数取得最大值为2；故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x