向量加法运算及其几何意义

两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.既有大小又有方向的量是否可以相加呢？思考1：位移的合成如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用什么来表示？由此可得什么结论？ABCACBCAB上述分析表明，位移的合成可看作是向量的加法。OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间有什么关系？思考2：力的合成向量加法运算及其几何意义向量的加法：abbaabCAB,,,,,abAABaBCbACabababABBCAC已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做的和，记作即求两个向量和的运算，叫做这三角形法则.种求向量和的方法，称为向量的加法.的向量加法、与首指向尾为和首尾顺次相接向量的加法：OABCabba连对角起点相同以同一点O为起点的两个向量为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线就是与的和,即ba,OCabOBOAbaOC我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.00,aaaa对于零向量与任一向量我们规定对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量)(2)位移的合成是三角形法则的物理模型.力F的分解为平行四边形法则.三角形法则:首尾相接连端点；平行四边形法则:起点相同连对角.例1.如图,已知向量,求作向量。,ababab则。OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbbab作法2：在平面内任取一点O，O作，，OAaOBbaABb以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，C.OCOAOBab连结OC,则ba平行四边形法则例1.如图,已知向量,求作向量。,abab练习:P84,第1,2,3题ACDBODACB课堂练习教材P84页练习3.1a+d=_______2c+b=_______abcd2、（1）abbbaababa（2）教材P84页练习2.课堂练习向量加法向量加法abbaabbbaabba1、（1）（2）课堂练习（3）（4）babbba教材P84页练习1.向量加法向量加法a+b____a+b(,,≤,≥,≠)请选用合适符号连接：≤非零向量a,b处于什么位置时？1a+ba+b2a+b=a+ba，b不共线或共线反向a，b共线且同向a，b反向且a≥ba，b反向且a≤b探究向量加法向量加法3a+b=a-b4a+b=b-a结论：a-ba+ba+b已知a=8,b=6,则a+b的最大值和最小值是_练习：_____14,2向量加法向量加法≤≤多个向量相加的运算法则两个向量相加有三角形法则,多个向量相加怎么办?向量求和的三角形法则,可以推广到多个向量求和的多边形法则:n个向量经过平移,依次使它们首尾相接,组成一个向量折线,这n个向量的和等于折线的起点到折线的终点的向量,即nnnAAAAAAAAAA01322110A0A1A2A3A4An-1An思考:如果非零向量满足,那么以为有向线段的三条线段能否组成一个三角形?cba,,0cbacba,,不一定.abc如:abc向量加法的平行四边形法则和三角形的区别和联系:三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.三角形法则和平行四边形法则都是向量和的基本方法.练习:P84,第4题DCBAE课堂练习教材P84页练习4.1a+b=______2c+d=______3a+b+c=______4c+d+e=______cfgfgfcabde向量加法的运算律数的加法满足交换律和结合律，那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDB,abba()()abcabc向量加法的交换律向量加法的结合律例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；23ADBC.,,,,,)1(:表示船实际航行的速度则为邻边作平行四边形以表示水速表示船速如图解ACABCDABADABAD例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBC化简：________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA________)3(DCCABDAB例题3:ADMN01.化简:AB+DF+CD+BC+FAFADFCDBCAB0B2.O是四边形ABCD对角线的交点,使得OCDOOBAO成立的四边形ABCD是A.等腰梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形3.有边长为1的正方形ABCD,设AB=a,BC=b,AC=c则|a+b+c|=22课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算作业布置:P91,第2,4(1)(2)(3)