抛物线中的定点定值问题

抛物线专题第1页抛物线练习（定点定值垂直等）例1.已知,AB是抛物线22(0)ypxp上的两点，且OAOB．求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;（2）直线AB恒过定点;（3）求弦AB中点P的轨迹方程;（4）求AOB△面积的最小值；（5）O在AB上的射影M轨迹方程.思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？思考2：本题中，OAOB，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOAkOB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究；思考3：若kOA+kOB=n(n为非零常数),直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考5：上述结论在椭圆中成立吗？抛物线专题第2页例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线24yx上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、C两点，证明：BC斜率为定值。例3.类比于专题7例4---例6已知抛物线24yx，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是否存在点P，使PF平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究,AFBFKK的关系。抛物线专题第3页思考3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：已知定点(3,0)H，动点P在y轴上，动点Q在x轴的正半轴上，动点M满足:0HPPM，32PMMQ.设动点M的轨迹为曲线C，过定点(,0)(Dm0)m的直线l与曲线C相交于AB、两点．（1）求曲线C的方程；（2）若点E的坐标为(,0)m，求证：AEDBED；（3）是否存在实数,a使得以AD为直径的圆截直线:lxa所得的弦长恒为定值？若存在求出实数a的值；若不存在，请说明理由.抛物线专题第4页例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：若AB是过抛物线)0(22ppxy焦点F的弦，M是AB的中点,l是抛物线的准线,lMN，N为垂足，lBD,lAH,D,H为垂足.证明：（1）ANBN；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．（2）HFDF；（3）FNAB；（4）A、O、D三点共线；（能否推广？F(a,0),:lxa）思考：若AB是过抛物线)0(22ppxy焦点F的弦，过A和B分别做抛物线的切线，切线交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）抛物线专题第5页抛物线练习（定点定值垂直等）例1.已知,AB是抛物线22(0)ypxp上的两点，且OAOB．求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;（2）直线AB恒过定点;（3）求弦AB中点P的轨迹方程;（4）求AOB△面积的最小值；（5）O在AB上的射影M轨迹方程.（1）（2）（3）（5）222()xpyp思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？思考2：本题中，OAOB，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOAkOB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究；AB过定点),22(020ymppy。思考3：若kOA+kOB=n(n为非零常数),直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；直线AB过定点).2,22(0020ynpnypy思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考5：上述结论在椭圆中成立吗？抛物线专题第6页例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线24yx上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、C两点，证明：BC斜率为定值。12,一般情况下A(00,xy)，结论为0py例3.类比于专题7例4---例6已知抛物线24yx，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是否存在点P，使PF平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（-1，0）思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究,AFBFKK的关系。0AFBFKK思考3：若将P改为x轴负半轴上的其它点，是否有类似规律,如下题：已知定点(3,0)H，动点P在y轴上，动点Q在x轴的正半轴上，动点M满足:0HPPM，32PMMQ.设动点M的轨迹为曲线C，过定点(,0)(Dm0)m的直线l与曲线C相交于AB、两点．（1）求曲线C的方程；（2）若点E的坐标为(,0)m，求证：AEDBED；（3）是否存在实数,a使得以AD为直径的圆截直线:lxa所得的弦长恒为定值？若存在求出实数a的值；若不存在，请说明理由.22、解：（Ⅰ）设(,),(0,),(,0)(0)MxyPyQxx,3,2PMMQ0.HPPM3(,)(,)2xyyxxy且(3,)(,)0yxyy,211,,30.32xxyyxyyy24(0)yxx.………………………………………………4分∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.抛物线专题第7页…………………………………………5分（Ⅱ）解法一：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有AEDBED；……………6分（2）当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为()(0,0)ykxmkm，1122(,),(,)AxyBxy，则A，B两点的坐标满足方程组2()4(0)ykxmyxx消去x并整理，得2440kyykm,12124,4yyyymk.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为12kk、，则:12kk+＝1212yyxmxm122112()()()()yxmyxmxmxm221221121211()44()()yyyymyyxmxm121212121()()4()()yyyymyyxmxm12144(4)()40()()mmkkxmxm.…………………9分tantan(180)0AEDBED,tantanAEDBED,02AED，02BEDAEDBED.综合（1）、（2）可知AEDBED.…………………10分解法二：依题意，设直线l的方程为(0)xtymm，1122(,),(,)AxyBxy，则A，B两点的坐标满足方程组:24(0)xtymyxx消去x并整理，得2440ytym,12124,4yytyym.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为12kk、，则:BADFxOyHGOEBADFxOyHGOE抛物线专题第8页12kk+＝1212yyxmxm122112()()()()yxmyxmxmxm221221121211()44()()yyyymyyxmxm121212121()()4()()yyyymyyxmxm121(4)(4)440()()mtmtxmxm.…………………9分tantan(180)0AEDBED,tantanAEDBED,02AED，02BEDAEDBED.……………………………………………………10分（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，其方程为xa，AD的中点为O，l与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则OHFG，O点的坐标为11(,)22xmy.221111()22OFADxmy2111()42xmx,111222xmOHaaxm,222FHOFOH2211111()4(2)44xmxaxm1(1)()amxama.…………………………12分221(2)4(1)()FGFHamxama,令10am，得1am此时，24(1)FGm.∴当10m，即1m时，21FGm（定值）.∴当1m时，满足条件的直线l存在，其方程为1xm；当01m时，满足条件的直线l不存在.…………………………14分例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：若AB是过抛物线)0(22ppxy焦点F的弦，M是AB的中点,l是抛物线的准线,lMN，N为垂足，lBD,lAH,D,H为垂足.证明：（1）ANBN；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．（2）HFDF；（3）FNAB；抛物线专题第9页（4）A、O、D三点共线；（能否推广）思考1：若AB是过抛物线)0(22ppxy焦点F的弦，过A和B分别做抛物线的切线，切线交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）