有限元法基础-4单元和插值函数的构造

第四章单元与插值函数4.1面积坐标4.2Lagrange单元4.3Serendipity单元4.4体积坐标4.5Hermite插值14.单元与插值函数通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。本章重点介绍构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点有限元法基础24.单元与插值函数关键概念自然坐标面积坐标体积坐标Lagrange单元Serendipity单元有限元法基础34.单元与插值函数广义坐标有限元法的存在的问题：1）建立单元插值函数方法繁琐2）形成单元矩阵过于复杂有限元法基础44.单元与插值函数单元插值函数的构造与求解问题的微分方程无关插值函数的构造方法与单元形状有关与单元节点数量与位置有关与单元节点DOF的类型和数量有关有限元法基础54.单元与插值函数有限元法基础64.1面积坐标定义在三角形内任意一点P的位置由其三角形子域的面积与三角形面积的比值确定，即其中A为三角形面积，为的面积，为的面积，为的面积。有限元法基础,,jimAAAPAAAiAPjmjAPmimAPij74.1面积坐标记则三角形内的点P表示为称为面积坐标。有限元法基础,,jimijmAAAPjmLLLAAA的高的高,,ijmPLLL,,ijmLLL8面积坐标的性质1）与j-m平行的线上具有相同的Li4.1面积坐标有限元法基础94.1面积坐标2）角点坐标为i(1,0,0),j(01,0),m(0,0,1)3）形心坐标为4）三角形三条边的坐标为j-m边:Li=0,m-i边:Lj=0,i-j边:Lm=05）三个坐标只有2个是独立的有限元法基础111333，，1ijmLLL104.1面积坐标面积坐标与直角坐标的关系三角形单元的面积三角形内任意点P(x,y),有限元法基础11121iijjmmxyAxyxyijm1111()221jjiiiimmxyAxyabxcyxyPjm114.1面积坐标有限元法基础12()iiALiiiiAAabxcyN11,,11jjjjiiimmmmxyyxabcxyyx112iiiijjjjmmmmLabcLabcxAyLabc1111iijmjijmmLxxxxLyyyyLiijjmmiijjmmxxLxLxLyyLyLyL124.1面积坐标面积坐标的微积分运算1）导数有限元法基础1212jimijmijmijmijmijmLLLbbbxLxLxLxALLLcccyALLL134.1面积坐标2）面积分3)i-j边长为l的线积分有限元法基础!!!2(2)!ijmALLLdxdyA!!(1)!abijlabLLdslab144.1面积坐标例：有限元法基础20!0!1!2(0012)!32!0!0!2(2002)!61!1!0!2()(1102)!12mAiAijAALdxdyAALdxdyAALLdxdyAij154.1面积坐标例：均质等厚单元的自重有限元法基础000103eiFxeiiFeAiFyiLtdxdyggtALQQQ164.1面积坐标用面积坐标给出的单元的插值函数以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数是对称的。有限元法基础174.1面积坐标1）线性单元－－3节点三角形单元根据形函数的特点这样可用过其他两节点的直线方程来构成。例如节点1，可用2－3边的直线方程来构成插值函数，即有限元法基础11NL1231(,,)0ijjjijNLLLij184.1面积坐标2）二次单元－－6节点三角形单元节点1：节点4：通用表达式：角节点中节点注：有限元法基础11112()2NLL4124NLL(21)(,,)iiiNLLiijm34(,,,)iijNLLijijm611iiN194.1面积坐标2）三次单元－－10节点三角形单元节点1节点4节点10有限元法基础1111912()()233NLLL1012327NLLL1011iiN4121271()23NLLL204.2Lagrange单元单元场函数的插值表示为插值函数满足下列性质有限元法基础1niiiN1()0ijijNxij11niiN214.2Lagrange单元一维Lagrange插值1）总体坐标下的位移插值函数对于n个节点的一维单元，节点坐标为多项式插值可达n-1阶，即有限元法基础(1,2,,)ixin(1)12111,1211()()()()()()()()()()()njniinijjiijiiiiiiinxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxx224.2Lagrange单元当＝2时令，则引进无量纲坐标有限元法基础(1)(1)21121221()()xxxxlxlxxxxx120,xxl(1)1()1xlxl(1)2()xlxl111(01)nxxxxxxl(1)1()1lx(1)2()lx234.2Lagrange单元2）自然坐标下的位移插值函数对于n个节点的一维单元，节点坐标为多项式插值可达n-1阶，即或有限元法基础(1,2,,)iin(1)1,()njnijjiijl1201n1211n244.2Lagrange单元当n=2时，通式有限元法基础[1,1](1)(1)1211()(1)()(1)22ll(1)1()(1)2iil254.2Lagrange单元当n=3时，有限元法基础[1,1](2)(2)2(2)12311()(1)()(1)()(1)22lll(2)221()(1)(1)(1)(1,2,3)2iiiili264.2Lagrange单元二维Lagrange单元二维Lagrange单元的场插值函数由一维Lagrange插值分别在两个方向插值，即场插值函数为有限元法基础()()()()nImJll方向有n+1个节点，n阶插值函数方向有m+1个节点,m阶插值函数()()(,)()()nmIJIJNll274.2Lagrange单元可以证明有限元法基础1111(,)1nmIJIJN()()(,)()()nmIJrsIrJsIrJsNll284.2Lagrange单元一次单元－－4节点单元双线性插值有限元法基础1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiNi294.2Lagrange单元二次单元—9节点单元角节点边中节点内部节点有限元法基础00001(1)(1)(1,2,3,4)4iNi2002001(1)(1)(5,7)21(1)(1)(6,8)2iiNiNi229(1)(1)N00ii304.2Lagrange单元三维Lagrange单元单元节点场插值函数有限元法基础()()()()()()nImJkMlll方向有n+1个节点，n阶插值函数方向有m+1个节点,m阶插值函数方向有k+1个节点,k阶插值函数()()()(,,)()()()nmkIJMIJMNlll314.2Lagrange单元可以证明有限元法基础()()()(,,)()()()nmkIJMrsqIrJsMqIrJsMqNlll111111(,,)1nmkIJMIJMN324.2Lagrange单元Lagrange单元族的特点1）插值函数构造方便2）高次单元内部节点过多，影响计算效率有限元法基础一次单元内部节点0二次单元内部节点1三次单元内部节点4平面单元内部节点数（n-1)(m-1)334.3Serendipity单元Serendipity单元族单元的节点仅配置在角点和边界上。不改变精度的情况下，减少内节点。Irons等首先提出，按字面意思是意外发现的，但有规律可循。有限元法基础344.3Serendipity单元Serendipity单元族有限元法基础354.3Serendipity单元Serendipity插值函数的构造4节点单元的插值函数与Lagrange单元相同有限元法基础001(1)(1)(1,2,3,4)4iNi00ii364.3Serendipity单元8节点单元在边中点的插值函数有限元法基础251(1)(1)2N方向二次插值方向一次插值2257226811(1)(1)(1)(1)2211(1)(1)(1)(1)22NNNN＋374.3Serendipity单元显然有限元法基础5,6,7,8(,)1,2,,8ijjijiNj384.3Serendipity单元Serendipity插值函数的一般构造方法有限元法基础394.3Serendipity单元Serendipity单元族有限元法基础404.3Serendipity单元二次平面单元－－8节点单元有限元法基础1158225633674478221111ˆˆ22221111ˆˆ22221(1)(1)(5,7)21(1)(1)(6,8)21ˆ(1)(1)(1,2,3,4)4iiiiiiiNNNNNNNNNNNNNNNNNiNiNi(,)ijjijN8411ˆ1iiiiNN414.3Serendipity单元划线法构造插值函数二次平面单元－－8节点单元由，得有限元法基础11(1)(1)(1)Nc1(1,1)1N114c11(1)(1)(1)4N255(1)(1)Nc512c5(0,1)1N424.3Serendipity单元平面四边形8节点单元插值函数有限元法基础221(1)(1)(1)(1,2,3,4)41(1)(1)(5,7)21(1)(1)(6,8)2iiiiiiiiiNiNiNi434.3Serendipity单元三维Serendipity单元族1)线性单元－－8节点单元有限元法基础0001(1)(1)(1)(1,2,,8)8iNi000iii444.3Serendipity单元2)二次单元－－20节点单元插值函数完备到二次。有限元法基础0000002002002001(1)(1)(1)(2)8(1,2,,8)1(1)(1)(1)(9,11,17,19)41(1)(1)(1)(10,12,18,20)41(1)(1)(1)(13,14,15,16)4iNiiii000iii454.3Serendipity单元Serendipity插值与Lagrange插值的差异Serendipity插值函数的多项式表示与Lagrange插值相比少都是二次完备，没达到三次完备。有限元