数字信号处理2-2-DTFT

1§5离散时间傅立叶变换•实际信号的特点：时域：连续实际信号持续时间较长频域：频谱是连续的•数字处理设备的特点：存储空间有限－－只能存储有限的数据有限的时间点有限长的时间范围表示空间有限－－只能表示有限多的数值取值在一定精度内取值在一定范围内2要解决的问题（面临的矛盾）1在时域如何对信号进行离散化？要求保证信号的信息不受损!信息不受损＝＝可以恢复原信号理论问题已在第一章解决乘以冲激串信号，进行时域抽样要求抽样过程满足抽样定理信号频带有限，抽样频率是信号最高频率的两倍3如何用抽样信号的频谱来恢复原信号的频谱？抽样信号的频谱与原信号的频谱是什么关系？理论上如何恢复？工程上如何实现？要解决的问题（面临的矛盾）24抽样信号的频谱如何计算？得到抽样信号后，如何计算其频谱？输入：抽样信号（序列）输出：抽样信号的频谱在工程上，计算机接受的输入是一系列数值x1,x2,x3,x4,x5,……要解决的问题（面临的矛盾）35信号被截短时，频谱发生什么变化？有时信号持续时间超出处理能力时域信号需要被截断截断会不会影响对信号的分析？截断对信号的频谱有何影响？要解决的问题（面临的矛盾）46有限长离散信号频谱的存储与计算频谱是连续周期的只能存储有限长的频谱一个周期即可只能存储有限多的频谱离散频率点处的频谱值离散频率点谱值的计算法一：先有连续谱，后有离散谱值（抽样而已）法二：直接用时间抽样值计算离散谱值（公式）？要解决的问题（面临的矛盾）57如何由频谱恢复抽样信号？离散频谱值是有限的恢复抽样信号的计算公式如何编程实现（如何进行快速计算）？按定义实现－－计算量太大由离散信号计算离散频谱由离散频谱恢复离散信号要解决的问题（面临的矛盾）6,78序列傅立叶变换的定义离散时间傅立叶变换序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用{}作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用{}对模拟信号进行展开相似。njetje9序列的傅立叶变换1．序列傅立叶正变换nnjjenxnxDTFTeX)()]([)(x(n)的傅立叶变换定义如下:是的连续函数。但由于其中M为整数，故有nMjnjee)2()()()()2()2(MjnMjnjeXenxeX可见还是的周期函数，周期为2。)(jeX10序列傅立叶变换的定义2．序列傅立叶变换与Z变换的关系比较后可见：序列的傅立叶变换是Z变换在时的Z变换，即Z变换在的单位圆上的特殊情况。jez1zjezjzXeX)()(序列的傅立叶变换式：nnjjenxnxDTFTeX)()]([)(nnznxzX)()(序列的Z变换定义式：11序列傅立叶变换的定义由于单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。12序列傅立叶变换的定义一般为的复变函数，可表示为:)(jeX)(arg|)(|)()()(jweXijjIjRjeeXejXeXeX其中，分别为的实部和虚部；通常称为序列的幅频特性或幅度谱，而称为相位谱，并且有：)(jeX、)(jReX)(jIeX)(jeX)(arg)(jeX2/122)]()([|)(|jIjRjeXeXeX)](/)([)(arg)(jRiIjeXeXarctgeX显然都是的连续函数和周期为2的周期函数。、)(jeX)(13序列傅立叶变换的定义3．序列的傅立叶变换的收敛条件)()(nxenxnnjn即序列绝对可和有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见后例。某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数，其傅立叶变换也存在。如、某些周期序列，见后例。njenu、)()(14序列傅立叶变换的定义5．常用序列的傅立叶变换序列傅立叶变换)(n11)(anuan1)1(jae)(nRN)2/sin(/)2/sin(2/)1(NeNj1kk)2(2)(nukjke)2()1(1nje0kk)2(20)cos(0nkkk)2()2(0015典型例题已知，求它的傅立叶变换。)()(5nRnx)2/sin(2/5sin)()(11)]([)(22/2/2/52/52/2/5540jjjjjjjjjnjnjeeeeeeeeeenxDTFTeX解：其幅度谱和相位谱分别为：,|)2/sin(2/5sin|)(jeX])2/sin(2/5sinarg[2)(例116典型例题例2||0||01)(ccjeH已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。解：deeHFnhnjccj21)]([)(1nnnjnejnecnjnjcc,sin)(21cccjncdeHnn22|)(|21|sin|显然序列不是绝对可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立叶变换。)(nhParseval定理17典型例题例3njenx0)(证明复指数序列的傅立叶变换为：kjkeX)2(2)(0证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数的性质，有：)(knjdeknx)2(221)(0njnjede00)(1000nje，则若kkF)2(2]1[即mnmjmeanx)(若序列为复指数和的形式：推论kmmmjkaeX）则2(2)(18典型例题例4求余弦序列的傅立叶变换nnx0cos)()]2()2([00kkk}]{21[][cos)]([)(000njnjjeeFnFnxFeX解：可见：序列的傅立叶变换表现为在处的冲击，强度为，并以2为周期进行周期延拓。n0cos0利用上例结论19§6序列傅立叶变换的性质下面所列出的性质都可直接由Z变换令得到，可自行证明。因序列的傅立叶变换是Z变换在的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。jez1z20序列傅立叶变换的性质线性性),()]([jeXnxDTFT若)()]([jeYnyDTFT)()()]()([jjebYeaXnbynaxDTFT则序列的移位)()]([jeXnxDTFT若)()]([00jnjeXennxDTFT则频域的相移)()]([jeXnxDTFT若][)]([)(00jnjeXnxeDTFT则序列的反褶),()]([jeXnxDTFT若)()]([jeXnxDTFT则21序列傅立叶变换的性质序列的共轭)()]([jeXnxDTFT若)(*)](*[jeXnxDTFT则频域微分性)()]([jeXnxDTFT若dedXjnnxDTFTj)()]([则对时域信号进行线性加权对应于频域的微分时域卷积定理),()]([jeXnxDTFT若)()]([jeHnhDTFT)()()(jjjeHeXeY则)()()(nhnxny设22序列傅立叶变换的性质频域卷积定理（序列相乘）),()]([jeXnxDTFT若)()]([jeHnhDTFT)()()(nhnxny设)]()([21)(jjjeHeXeY则deHeXjj][)(21)(序列相关)()()(jjjxyeYeXeR则),()]([jeXnxDTFT若)()]([jeHnhDTFTnxymnynxmr)()()(设2)()()()(jjjjxxeXeXeXeR推论序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱---维纳-辛欠定理23序列傅立叶变换的性质Parseval定理)()]([jeXnxDTFT若deXnxjn22)(21)(则该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量重抽样序列的傅立叶变换)()]([jeXnxDTFT若10)2()(1)(MlMlMjjeXMeY则2,1,0)()(nnMxny设10)2()(1)(MlMljMjeXMeY或该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。M/224序列傅立叶变换的对称性序列的共轭对称性质若序列满足)()(nxnxee)(nxe)(nxe则称为共轭对称序列)()(nxnxoo)(nxo类似地，若序列满足)(nxo则称为共轭反对称序列任何序列均可表示成上述两种序列之和，)()()(nxnxnxoe即)(nx)}()({21)()}()({21)(nxnxnxnxnxnxoe其中25序列傅立叶变换的对称性)(nxe若将共轭对称序列用它的实部和虚部来表示：)()()(njxnxnxeiere)()()(njxnxnxeiere则)()()()(nxnxnxnxeieierer此式表明：的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇函数；的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数。)(nxe)(nxo序列傅立叶变换的共轭对称性质)()()(1nxnxnxoe、若将序列分成)]([)]([)(nxFnxFeXoej对其实施傅立叶变换)(jeX将分成实部与虚部)()()(jIjRjejXeXeX共轭对称部分共轭反对称部分26序列傅立叶变换的对称性)()](Im[)}()({21)]([*jIjjjoejXeXjeXeXnxF)()](Re[)}()({21)]([jRjjjeeXeXeXeXnxF则上式表明：的傅立叶变换对应于的实部；的傅立叶变换对应于的虚部(加上j在内)。)(nxe)(nxo)(jeX)(jeX)()()(2njxnxnxir、若将序列分成)]([)]([)(nxjFnxFeXirj对其实施傅立叶变换nnjrrjeenxnxFeX)()]([)(定义nnjiijoenxjnxjFeX)()]([)()()()(jojejeXeXeX则27序列傅立叶变换的对称性)()(,)()(jojojejeeXeXeXeX结论：具有共轭对称性质，具有共轭反对称性质。)(jeeX)(joeX若序列为纯实数序列，即若)()(nxnxr)()(jjeXeX则所以实序列x(n)的傅立叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数；幅度是的偶函数，而相位是的奇函数)](Im[)](Im[jjeXeX)](Re[)](Re[jjeXeX推论若序列为纯虚数序列，即若)()(njxnxi)()(jjeXeX则所以纯虚数序列的傅立叶变换是的奇函数。