线性代数矩阵及其运算

1华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学课件2教学基本要求1、提前预习，积极听课；2、认真完成作业，计入平时成绩；3、随机点名考勤，考勤结果计入平时成绩；5、联系电话：[phone]；e-mail：[e-mail]4、总评成绩=平时（占30%）+期末（占70%）3引言《线性代数》是以行列式、矩阵为工具，研究线性变量之间关系的一门数学分科，它包括求值、求解及性质的讨论。密切相关学科：运筹学（线性规划）4第一章矩阵第四章向量的内积与二次型第六章Matlab软件的应用第二章向量与线性方程组第五章线性空间与线性变换第三章矩阵的特征与特征向量教学计划10学时6学时4学时8学时4学时略5第一章矩阵§1矩阵及其运算§3行列式§2矩阵的初等变换与初等矩阵§4行列式和逆矩阵的应用6矩阵及其运算第一节111212122212nnmmmnaaaaaaaaa引例一某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：ABCD18075757829870858439075909048870828080757578987085849075909088708280数表抽象描述各种产品各季度的产值揭示产值随季度的变化规律、年产量等引例二某航空公司在A，B，C，D四城市之间开辟了若干航线，右图表示了四城市之间的航班图，若从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B：终点始发ABCDA√√B√√√C√√√D√0110101111010100数表BACD抽象反映四城市之间的交通连接情况11112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaaaa1.1.1线性方程组与矩阵的概念m个方程，n个未知数(1)线性方程组的一般形式为11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab数表定义1.1(P2)111212122212nnmmmnaaaaaaaaa由mn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表第一行第二行第一列第二列A其中诸ija叫做矩阵的元素，矩阵可以简记称为m行n列矩阵，简称为nm矩阵,,)(nmijnmaAA)(ijaA或通常用大写的英文字母A,B,…表示，naaa21行矩阵：只有一行的矩阵也称为行向量12naaa列矩阵：只有一列的矩阵也称为列向量元素全是零的矩阵叫做零矩阵，简记为Omn特例行数与列数相等的矩阵，称为方阵。有n行n列的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵111212122212()nnnnnijnnnnnnaaaaaaAAAaaaa特例13几种特殊形式的方阵11121222000nnnnaaaaaa上三角形矩阵11212212000nnnnaaaaaa下三角形矩阵——三角形矩阵14000000数量矩阵n00000021对角阵12(,,,)ndiag100010001单位矩阵nII或几种特殊形式的方阵diagonal15行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵。同型矩阵如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩阵与矩阵同型AB16定义1.2（P4)),,,2,1;,,2,1(njmibaijij那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B()()ijijAaBb如果与是同型矩阵，并且对应位置上的元素相等，即相等矩阵17258sin222.50.526908(3)09100000000001001001001001(1)(2)(3)判断下列各组矩阵是否相等课堂练习设，已知A=B，12313,26568xxABzyz求的值,,xyz解由A=B，可知2258xxyzz解得1,2,2xyz一、矩阵的加减法定义1.3（P4)),(),ijijbBaAnm（矩阵设有两个那么矩阵A与矩阵B的和矩阵记作A+B,规定为mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111对应位置上的元素相加1.1.2矩阵的基本运算及性质注意：只有同型矩阵才能相加20矩阵的加法满足下列运算规律(P4)（i）A+B=B+A(交换律）（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(结合律）(iii)A+O=O+A=A记设矩阵),(ijaA),(ijaA-A称为矩阵A的负矩阵，显然有A+(-A)=(-A)+A=O定义矩阵的减法：A-B=A+(-B)对应位置上的元素相减二、矩阵的数乘运算定义1.4(P5)，规定为或的乘积记作与矩阵数AAAmnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211(1)()()(2)()(3)()(4)1(5)(1)(6)0AAAAAABABAAAAAO矩阵的每一个元素都要乘以这个数运算率(P5)22设两个商店销售三种电视机的数量（百台）由矩阵A表示691410812A长虹康佳创维百佳华润三种电视机的零售单价（千元）由矩阵B表示5.335.2B长虹康佳创维5.310385.2125.36395.214CAB5.335.26914108128389三、矩阵的乘法则两商场销售电视机所得收益分别是多少？定义1.5(P5)三、矩阵的乘法11221lijijijilljikkjkcabababab(1,2,,;1,2,,),imjn设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等,则由元素构成的mn矩阵C=(cij)mn称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB矩阵乘法运算的注意事项：（1）两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。(2)为保证规则（1），左矩阵的列数应与右矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。（3）乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列数与右矩阵相同。1111lmmllmaaAaa1111nllnnlbbBbb行i列j25例计算下列矩阵的乘积，并观察结果，探讨性质（1）设530421A4213B，，求AB和BA。（2）设，132A465B，求AB和BA.求AB、BA和BC。，设21423A，6342B4824C，例设530421A4213B，求AB。AB4213530421()223142112034401425334513231941297矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义解例设132A465BAB465132416151436353426252求AB和BA46512181581210BA13246514362532AB和BA都意义，但不同型，故AB≠BA.解例2142A6342B求AB、BA和BCAB1683216BA0000(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵(3)BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率BC00004824C解AB≠BA,BA=BC0230A例9469B求AB和BAAB9469023012182712BA0230946912182712AB=BA如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换解矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率，但满足下列运算率（P6）：(Ⅰ)(Ⅱ))()()(BABAAB(Ⅲ)CABAACBACABCBA)()((Ⅳ),mmnmnmnnmnIAAAIA()()ABCABC记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1nxXx1mbbb则线性方程组(1)可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式11112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)AXb系数矩阵未知数列矩阵常数列矩阵矩阵A表示两车间生产三种产品的数量166101289A矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量4365.15.42B车间一车间二面包蛋糕饼干面包蛋糕饼干糖面粉CAB(16261.5103164.566104395.1821249685.412)则如何用矩阵表示两车间需要消耗的原材料的数量？7114863138方阵的幂设A是n阶方阵，k为正整数，则表示k个A连乘,如显然，只有方阵的幂才有意义AAAA3四、转置矩阵(Transpose)行、列对调例113021A101231TAAATT)(TTTBABA)(TTAA)(TTTABAB)(运算律可推广到有限多个的情形定义1.6(P6)把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作或TAA对称矩阵如果方阵A满足,AAT就称A为对称矩阵111100000574702423例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称位置上的每一对元素都相等jiijaa定义1.7(P10)设A为n阶方阵,AB=BA=I就称为A可逆矩阵，如果存在n阶方阵B，使得并称B为A的逆矩阵（简称A的逆),记作1AB定理1.1如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的证明设B和C都是A的逆矩阵，则AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C1.1.4逆矩阵性质1.1如果矩阵A可逆，则AB=I等价于BA=I。证明(1)1()()AABA1()AABA