课件：第11章-计数原理—排列与组合-(1)

│基本计数原理│知识梳理知识梳理1．分类计数原理完成一件事，如果有n类办法，在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，……在第n类办法中有mn种不同方法．那么完成这件事共有N＝种不同方法．2．分步计数原理完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，……做第n步有mn种不同方法．那么完成这件事共有N＝种不同方法．m1＋m2＋m3＋…＋mnm1·m2·…·mn│知识梳理3．分类和分步的区别(1)分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类方法都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一件事需按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可．只有当所有步骤完成，这件事才完成．(2)分类时要做到“不重不漏”．分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理，得到总数．(3)分步要做到步骤完整，完成了所有步骤，恰好完成任务，步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.│要点探究要点探究►探究点1分类计数原理的应用例1某单位有甲、乙、丙、丁四个部门，甲部门有工作人员8名，乙部门有工作人员10名，丙部门有工作人员12名，丁部门有工作人员15名，现从该单位选派一名志愿者参加社会公益活动，共有________种不同的选派方法．【思路】各个部门独立抽取，分四类计数即可．│要点探究【解析】可以分四类选派方案，即从甲、乙、丙、丁四个部门进行选派．从甲部门选派有8种不同的选派方法，从乙部门选派有10种不同的选派方法，从丙部门选派有12种不同的选派方法，从丁部门选派有15种不同的选派方法．根据分类加法计数原理，共有不同的选派方法8＋10＋12＋15＝45种．【答案】45【点评】使用分类加法计数原理时，每一类都能单独完成事件，各类之间互不交叉．│要点探究│要点探究变式题书架上层放5本不同的数学书，中层放6本不同的语文书，下层放7本不同的英语书，某同学从中取出1本书，有________种不同的取法．【思路】每本书独立抽取，分类计数．【答案】18│要点探究【解析】要完成“取一本书”这件事，有三类不同取法：第一类：从上层5本不同的数学书中取一本，有5种不同的取法；第二类：从中层6本不同的语文书中取一本，有6种不同的取法；第三类：从下层7本不同的英语书中取一本，有7种不同的取法．上述的其中任何一种取法都能独立完成“取一本书”这件事，所以共有5＋6＋7＝18种不同取法．│要点探究►探究点2分步计数原理的应用例2[2009·浙江卷]甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)【思路】甲、乙、丙各有7种站法，根据分步乘法计数原理计数，除去一个台阶上占三人的情况．│要点探究【解析】甲有7种站法，乙也有7种站法，丙也有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343种站法，其中三个人站在同一台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336种．【答案】336种【点评】各人占的台阶有允许相同的，这类允许元素重复的问题，还有下面的变式题中的币值问题，大多要用分步乘法计数原理解决．│要点探究变式题5个1元币、4个1角币、1个5分币，2个2分币，可组成不同的币值(一个不取，即0元0角0分不计在内)________种．【思路】按照组成的币值的元、角、分的不同情况分步解决．【答案】179│要点探究【解析】分为三种币值的不同组合：元：0元，1元，2元，3元，4元，5元；角：0角，1角，2角，3角，4角；分：0分，2分，4分，5分，7分，9分．然后分三步进行：第一步：从元中选取有6种取法；第二步：从角中选取有5种取法；第三步：从分中选取有6种取法．由分步计数原理可得6×5×6＝180，但应除去0元0角0分这种情况，故有不同币值180－1＝179(种)．【点评】本题考查分步计数原理的实际运用．本题可能认为1元币、1角币、5分币，2分币分别有5,4,1,2种取法，根据分步计数原理，共可以组成不同币值5×4×1×2＝40(种)，实际上1元币、1角币、5分币，2分币分别有6,5,2,3种取法，包括0元0角0分在内的取法有6×5×2×3＝180种，去掉0元0角0分，共179种．解题时要细心分析题目的实际意义，将其转化为数学问题时要等价．│要点探究│要点探究►探究点3两个原理的综合应用例3[2009·全国卷Ⅰ]甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A．150种B．180种C．300种D．345种【思路】恰好有1名女同学，这名女同学可在甲组产生也可在乙组产生，故分两类计算．│要点探究【解答】D分两类：(1)甲组中选出一名女生有C15·C13·C26＝225种选法；(2)乙组中选出一名女生有C25·C16·C12＝120种选法．故共有345种选法，选D.【点评】解决计数问题的基本思想就是先对问题进行分类，在每个类中再进行分步，根据乘法原理计算各个类的数目，最后根据加法原理计算总的数目本题是在甲乙两个组中各选出2名同学，不要误以为是在全体中选出2名同学；在每一类中，如甲组选出1名女同学后，乙组就不能再选女同学了，只能从6名男同学中选取，不要误以为是在整个乙组的8名同学中选取．此外解决计数问题还有一个值得注意的思想方法，就是若直接分类复杂时，可考虑用间接法，如下面的变式题．│要点探究│要点探究变式题某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15B．45C．60D．75【思路】直接分类就是A，B之一入选和A，B均入选三类；间接解答就是在总选法中减去A，B均不入选的选法数目．│要点探究【解答】C用直接法：C13C15＋C13C25＋C23C15＝15＋30＋15＝60，或用间接法：C24C26－C23C25＝90－30＝60，故选C.│要点探究例4三种作物种植在并排在一起的5块试验田里，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？【思路】3种作物要种在5块试验田里，也就是5块试验田都要种上作物，可分5步，从左到右一块一块的种，即可用分步计数原理求解．│要点探究【解答】如图53－1所示，并排的5个矩形分别表示5块试验田．图53－1分别用a、b、c表示三种作物，先安排第1块田，有3种方法，不妨先放入a，再安排第2块田，有b或c两种作物，不妨放入b，下面对第3块田种a或c进行讨论．(1)若第3块田种c，则第4,5块田分别有2种种法，共2×2＝4种方法；│要点探究(2)若第3块田种a，第4块仍有b或c两种作物可种：①若第4块田种c，则第5块田有2种方法；②若第4块田种b，则第5块田只能种c，有1种方法．综上，共有3×2×[2×2＋(2＋1)]＝42(种)．【点评】完成一个事件，“类”是独立的，“步”是其中必要步骤之一，不是独立的．分类的情况必相加，分步的情况必相乘，对此一定要深刻理解，准确应用．此外还要注意分类讨论要全面，要做到不重不漏，下面的变式题就在提醒这一点．│要点探究│要点探究变式题如图53－2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)图53－2│要点探究【思路】按照颜色的种数或是按照区域具体进行操作，根据分步乘法和分类加法计数原理解答．【解答】72种【解析】方法一：按选用颜色种数进行分类．依题意至少要选用3种颜色．当选用3种颜色时，区域B与D必须同色，区域C与E也必须同色，此时着色方法有A34种；当选用4种颜色时，区域B与D和区域C与E中有且仅有一个同色，此时着色方法有2A44种．由分类计数原理可知，满足题意的着色方法共有A34＋2A44＝24＋2×24＝72种．│要点探究方法二：按区域分步着色．第一步：给区域A着色有C14种方法；第二步：给区域B着色有C13种方法；第三步：给区域C着色有C12种方法；第四步：给区域D与E着色，因区域D区域B可着同色，也可着异色：当着同色时区域E有2种着色方法；当着异色时区域E有1种着色方法，所以给区域D与E着色共有2＋1＝3种方法．由分步计数原理，满足题意的着色方法共有C14·C13·C12·(2＋1)＝72种．│规律总结规律总结1．使用分类加法计数原理的注意事项：(1)各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加；(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．│规律总结2．使用分步乘法计数原理的注意事项：(1)各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘；(2)分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；(3)完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．3．具体解决实际问题时，要善于具体操作这个事情，看这个事情是如何完成的，先看可以分几个大类，再看在每类中完成事情要分几个步骤，这些问题清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了．