立体几何知识点总结-典型方法总结

数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章《空间几何体》一、本章总知识结构二、各节内容分析1.1空间几何体的结构1.本节知识结构1.2空间几何体三视图和直观图1、本节知识结构1.3空间几何体的表面积与体积1、本节知识结构。三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：1.多面体的体积（表面积）问题；2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。（一）多面体的体积（表面积）问题1．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是，PO=BOtan60°=3,而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P-ABCD的体积V=31×23×3=2.2．如图,长方体ABCD-1111DCBA中，E、P分别是BC、11AD的中点,M、N分别是AE、1CD的中点，1AD=AA,aAB=2,a（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。【解】（Ⅲ）111124NEPECDPSSBCCD矩形22215444aaaa作1DQCD，交1CD于Q，由11AD面11CDDC得11ACDQ∴DQ面11BCDA∴在1RtCDD中，112255CDDDaaDQaCDa∴13PDENDENPNEPVVSDQ2152345aa316a。（二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。1如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（III）求点E到平面ACD的距离。【解】（III）设点E到平面ACD的距离为.hEACDACDEVV，∴11.33ACDCDEhSAOS在ACD中，2,2,CACDAD2212722().222ACDS而21331,2,242CDEAOSCADBOE31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.72．如图，已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱1CC上的点，且12CNCN＝。（Ⅱ）求点1B到平面AMN的距离。【解】（Ⅱ）过1B在面11BCCB内作直线1BHMN，H为垂足。又AM平面11BCCB，所以AM1BH。于是1BH平面AMN，故1BH即为1B到平面AMN的距离。在11RBHM中，1BH＝1BM151sin1125BMH。故点1B到平面AMN的距离为1。3如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC、、两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离；【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。OBOC，则ODBCADBC、，∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。22BC，222ODOCCD。OAOBOAOC，，∴OA面OBC，则OAOD。223ADOAOD，在直角三角形OAD中，有2633OAODOHAD。（另解：由112363OABCABCVSOHOAOBOC知：63OH）第二章《点、直线、平面之间的位置关系》一、本章的知识结构二、各节内容分析2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系1、本节知识结构2.内容归纳总结（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：,,,AlBlABl且。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：①②③它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：,,PPlPl且。公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：//,////alblab且。（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线,ab，经过空间任意一点O作直线//,//aabb，我们把a与b所成的角（或直角）叫异面直线,ab所成的夹角。（易知：夹角范围090）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：相交直线：_______________________________;共面直线平行直线：_______________________________;异面直线：_________________________________________.（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：1.23//llAl直线在平面内：.直线与平面相交：直线在平面外.直线与平面平行：（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：1.//2.l两个平面平行：两个平面相交：2.2直线、平面平行的判定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。,,////ababa且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。,,,//,////ababPab判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。//,,//aabab平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。//,,//abab（2）定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。2.3直线、平面平垂直的判定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面垂直，记作l。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面的公共点P叫做垂足。2.直线与平面所成的角：角的取值范围：090。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：0180两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。,,,mnmnPamana、且在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。,aa（满足条件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。,//abab平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。,,,laala解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线（三）定理之间的关系及其转化：两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维”的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化。三、高考考点解析第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题（一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1．异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之：①“转化角”、②“证明”、③“求角”）。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题）”。1．如图所示，AF、DE分别是O、1O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8AD.BC是O的直径，6ABAC,//OEAD。（II）求直线BD与EF所成的角。【解】（II）第一步：将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D作符合条件的直线。连结DO，则∠ODB即为所求的角。第二步：证明∠ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE//AF，且DE=AF，所以四边形ODEF为平行四边形所以DO//EF所以根据定义，∠ODB就是所求的角。第三步：求角由题设可知：底面ABCD为正方形∵DA⊥平面ABCDBC平面ABCD∴DA⊥BC又∵AF⊥BC∴BC⊥平面ADO∴DO⊥BC∴△DOB为直角三角形∴在Rt△ODB，10BD82DO∴82cos10ODB（或用反三角函数表示为：82arccos10）2．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解】（2）取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA,∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP,于是,在等腰Rt△POA中,PA=6,则EF=26.在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=3.cos∠FED=34621DEEF=42∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos42.3．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；【解】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（II）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角CADBOE在OME中，121,1,222EMABOEDCOM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC2cos,4OEM异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.44．如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC、、两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（2）求异面直线BE与AC所成的角；【解】（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。求得：2215522EMACBEOBOE，，22172BMOMOB。2222cos25BEME