教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

11.3.2二项式系数的性质(第一课时)学校：新塘中学班级：高二A8班教师：段建辉●教学目标（一）知识与技能1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.掌握“赋值法”，并会简单应用（二）情感与价值观1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．．●教学重点：二项式系数的性质●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解.●教学方法:发现法●授课类型：新授●教学情境设计：一、复习回顾1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab二、引入通项公式中的rnC，我们称其为二项式系数.当n依次取1，2，3…时，nba)(二项式系数，如下表所示：表1此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C11121133114641151010512三、探究观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律.【注意】•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点•3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系1、二项式系数表的规律①每行两端都是1②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）【提示】设这一数为Crn1,其肩上的数则为C1rn和Crn，由组合数知识可知：③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等④中间的数值最大2、二项式系数的函数观点nba)(展开式的二项式系数依次是：Cn0,Cn1…Cnr…Cnn.从函数角度看，rnC可看成是以r为自变量的函数)(rfy其定义域是：｛0,1,2…n｝当n=5及n=6时，分别作出其图象图1图2据图可分析出函数rnCrf)(，图象的对称轴是2nr3、二项式系数的性质据图1,2和表1可得出二项式系数的性质【1】对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．直线2nr是图象的对称轴．Crn1=C1rn+Crn3[典型问题]e.g1.已知515C=a，915C=b，那么1016C=__________；【2】增减性与最大值∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk，∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，Ⅰ.当21nk时，二项式系数逐渐增大．当21nk时，二项式系数逐渐增大根据对称性可知，在中间取得最大值；Ⅱ.当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．[典型问题]e.g2．在9)(ba的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____e.g3.若nba)(的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___ne.g4nxx)1(23展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC[组合数公式][典型问题]e.g5.111C+311C+…+1111C=____e.g6.11211101210nnnnnnnnnnCCCCCCCC____；四、经典例题例1．在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和奎屯王新敞新疆证明：在展开式01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN中，4令1,1ab，则0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC，即02130()()nnnnCCCC，∴0213nnnnCCCC，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312nnnnnCCCC.五、拓展训练1.已知7270127(12)xaaxaxax求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；2.若nxx)21(4展开式中前三项系数成等差数列求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。六、小结①通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.注意灵活利用.②数学思想：函数思想（a单调性；b图象；c最值）③数学方法：赋值法、递推法、七、讨论•1.中国古代数学的成就和地位•2.东西方数学发展比较•3.历史人物[1.杨辉2.帕斯卡]•4.中国当代数学大师及其成就八、课后作业：完成《课时作业九.1.3.2杨辉三角》九、教学反思二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.