第1章-静电场基本规律-课后习题

1作业第一章真空中的静电场电磁学2真空中的静电场4043rQE22qlQ１－４如图所示的电荷系统叫电四极子，它由两个相同的电偶极子组成，这两偶极子在一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为r处，式中叫做它的电四极矩。rl（）P+q-2qll+qr证明：（1）先求一个电偶极子延长线上距离偶极子中心为x处的场强：220022204(+/2)4(/2)11()4(1/(2))(1/(2))qqxlxlqxlxlxlqpP+q-qlxy-2/(2)0(1/(2))0lxlxlxQ=对在附近做泰勒展开电磁学3真空中的静电场lqp232322(0)/(2),()(1)(0)(0).......2![1/(2)]1(2).......(0)(/(2)01/[1/(2)(0)(10))(/(2)](10)01(2).......1/)f''y=lxfyyfylxlxflylxlx'lxx可令则即：P+q-qlxy-2(1/(2))0lx对在附近做泰勒展开，有2222300011()114[1/(2)][1/(2)]42qqllqlExlxlxxxxx222011()4[1/(2)][1/(2)]qExlxlx考虑到方向，电偶极子延长线上距离偶极子中心为x处的场强为：302pExuvuv电磁学4真空中的静电场301,22qlElr右方向向右（2）四偶极子是由两个偶极子组成的，33340000P1136222422qlqlqllQEEErrrllrr右左四偶极子在点的场强为：方向向右。P+q-2qll+qr302pExuvuv右边的电偶极子在P点产生的场强：左边的电偶极子在P点产生的场强：延长线上距离偶极子中心为x处的场强为：301,2+2qlElr左方向向左-302lrm在附近，对作泰勒展开，有-3-333-3-333=1(13)222=1(13)222lllrrrrrlllrrrrr电磁学5真空中的静电场法二、以四个离散型点电荷的电场计算：方向向右。P+q-2qll+qr222000222024441124()()()[(/)(/))qqqExrlrlrqlrlrxr22242332222(0)/,()(1)(0)(0).......2![1/]1(2)6/2!(10)(/0).......(0)(/012/3(/)[1/]123(/).......12/3(/)(/(0))(10)(1)0)f''y=lrfyyfylrlrlrlrlrlrlfylrlrr'rl令则即：-2(1/)0lr对在附近做泰勒展开，有则：222202224400012312324644664{[/(/)][/(/)]}qElrlrlrlrrqlrrrrqlQxyO61-6如图所示，长为l=2.00m的均匀带电细棒，带有电荷量q=2.00×10-7C。求与细棒的一端相距为a=1m处P点的场强。Pal解：以P点到带电细棒的垂足O为坐标原点建立坐标系如图。dxrvdEuvdq=dx电荷元在P点产生的电场强度大小为20π4ddrqE20π4drx20coscos4xdxdEdErx3/22220044()lxdxdxlxrrlxa23/23/2002222001()442()()llxlxdxdlxElxalxa221/200[]3812llxa221/22200011[]()44llxaala223/20220[]8()ldlxalxa97221/219.0101.0101497.5(/)(21)NC720sinsin4ydxdEdEr3/22204()adxlxa3/23/200222200(1)44()()llyadlxadxElxalxa310122202222232323432(1)2(1)22lalxdxaalxalxa1/21/21/22222220000444llxlqalaalaalxa79221220109010804.98121-/..(/)()NC2222497.5078497.5078946.3(N/C)xyEEE20sinsin4ydxdEdEr,cot,sinarxla2sinaddx00/22000/202000022222002sinsin44sin(coscos)coss442444nnisilydxErdaaalaqaalaldaa20coscos4xdxdEdEr,cot,sinarxla0/20002222coscos44sisninlxdxadEra2sinaddx0/200000222200cos(sinsin)(1sin)442411(1)()44daaaaaaalal电磁学10真空中的静电场１－７.一个半径为Ｒ的均匀带电半圆环，带有电量q.求半圆环中心上的场强分布。解:建立如图坐标系；dddRlq20π4ddRRE它在Ｏ点产生场强大小为：方向沿半径向外。分解：dsinπ4sindd0REEx相互抵消yEd积分220000sind4π2π2πOqERRR,沿x轴正方向。注意此题中若角度选取不同，积分上下限也会随之不同，但结果一样。1-8设在半径为R的半个球面上,均匀分布着电荷q，求半球面球心处的场强。XYORθd解：在半球面上取圆环形面元．其带电量为2sindqRRd利用P34例3结论,知其在O点的电场强度大小为3222001cos4sincossincos2RdqdERRd223/204π()qxErx方向沿X轴负向.如图所示.EdXYOO点的总电场强度为20022000sincos214428EdEdqqRR“-”表示电场方向沿X轴负向.ddEcossin20RθdEd法二：在球面上取面元ds,如图:ROsindqdsRdRddd4R4dqdEdE020zcossincoscos22200000sincos448qEddR方向沿Z轴Z1-10、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。⑴求轴线上离环中心O距离为x处的场强；⑵画出E-x曲线；⑶轴线上什么地方场强最大？其值是多少？解：⑴由对称性可知，圆环在P点产生的场强沿轴线。圆环上任一线元dl在P点的场强为ROxPxdqrEd//dEEddq′rdE220220841xRdlRqxRdldEe沿轴线上的分量为：232202208cos8xRxdlRqxRdlRqdEx则P点的场强为：232202322048xRqxxRxdlRqdEEExx方向沿x轴03423222122223220xRxRxxRqdxdE03222xxRRx2220max36RqE（3）(1)在棒的中垂线上，离棒为R处的电场强度.(2)证明当L→∞时，该点的场强为：1-11、电荷以线密度λ均匀分布在长为L的直线段上。求02πEεR解：（1）建立如图坐标系，坐标为（x,0）处的电荷元在M点的场强大小为2204()dqdERx方向如图。根据对称性易知0xxdEE220coscos4()yyxdEdEdERxx求积分需要减少自变量，和只能保留一个OxdxEdMyθRx2222222002cos14()24yyLLEdEdEdxrQRxRxRRL（i）保留x，角度用x表示;查表计算积分：OxdxEdMyθR（ii）保留角度，x用角度表示：x2tancosRxRdxd220coscos4()yydEdEdxExR02000222cocoscos24(1)ta4snyREdRdRRθ000000222200022sicos2442/222(n/2(/22))/4yLREdRRRLLRRRRLLL220220024224(/)1yLERRLLRRLRL(2)当L→∞时，该点的场强为：OxdxEdMyθR(3)当RL时，该点的场强为：2202220002424(/r)44yLERRLLRLLQRR可近似看做点电荷1-11、（附加）电荷以线密度λ均匀分布在长为L的直线段上。求在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度。OPXdx解：建立如图坐标系，坐标为（x,0）处的电荷元在P点的场强大小为20)(4xrdqdE方向沿X轴向。整个带电细棒在P点的电场为2202222002222004(r)14()411()4/2/()2(4)LLLLLLdxEdExdrxrxLrLrLrxrL1-12、附图中，电场强度分量为其中b=800N/(C⋅m2)。立方体边长为a=10cm，求：（1）通过立方体的E通量。（2）立方体内总电荷。1/2,0,xyzEbxEExzyOaaa解：（1）因为只有Ex分量，所以立方体六个面只有S1、S2面有分量。2S1Snevnev1/22111ESbaauvuv1/222222ESbaauvuv总通量：1/21/2225/22122(21)baabaabaa5/220.4148000.11.05(/)NmC()01iSq（2）根据高斯定理：可得立方体内的电荷为：121201.058.85109.2910()qC总通量的三个无关：Ev总通量与闭合面内电荷的分布无关。Ev即是说，只要S内的总电荷量一定，它们在S内的什么位置，不影响总电通量的大小和正负。只要S内的总电荷量确立了，不管S的形状、大小如何，总通量不变。即是说，S面外的电荷产生的场对S的总通量无贡献。应当注意，这并不是说S外的电荷，在S上不激发电场，也不是说场强对S面上的面元没有电通量，而是S外的电荷产生的场，对S上各面元的通量有正有负，总和为零。总通量与闭合面S的形状、大小无关。Ev总通量与闭合面S面外的电荷无关。EvSSiq