电磁学(梁灿彬)第五章-稳恒电流的磁场

前言(Preface)一、本章的基本内容及研究思路静止电荷的周围存在着电场运动电荷周围，不仅有电场，而且还有磁场。不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也称为“静磁场”。稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又会对其他的运动电荷（或电流）有作用力。本章就是从这两个方面来研究磁场的。各种矢量场在研究方法上有类似之处，稳恒磁场的许多基本规律也与静电场对应，可采用与静电场对比的方法研究稳恒磁场。二、本章的基本要求1.深刻理解磁感应强度B的概念及物理意义；2.毕奥—萨伐尔定律是本章的基本定律，要掌握其内容，并能熟练应用该定律计算磁感应强度B；3.理解稳恒磁场的两条基本定理,熟练应用安培环路定理计算具有对称性分布的磁场；4.正确理解并掌握安培定律和洛仑兹力公式，了解安培力和洛仑兹力的关系。§1基本磁现象概述(summaryofbasicmagneticphenomenon)一、磁的基本现象对磁现象的认识很早最早发现的磁现象：天然磁石吸铁，我国远在春秋战国时期（公元前六、七世纪）的古书中已有记载现在知道,最早发现的天然磁铁矿矿石的化学成分是Fe3O4。近代制造人工磁铁是把铁磁物质放在通有电流的线圈中去磁化，使之变成暂时的或永久的磁铁。根据需要可以制成条形、针形、蹄形等各种形状。一块磁体上磁性特别强的区域，叫做磁极。任何磁体都有两极：南极（S）和北极（N）事实表明磁体不存在独立的N极或S极，但是有独立存在的正电荷或负电荷，这是磁极与电荷的基本区别。近代理论认为可能有独立磁极存在,这种具有磁南极或磁北极的粒子，叫做磁单极子，但至今尚未观察到这种粒子实验表明：同名磁极互相排斥；异名磁极互相吸引。在历史上很长一段时期里，磁学和电学的研究一直彼此独立地发展着，人们曾认为磁与电是两类截然分开的现象。直至十九世纪初，一系列重要的发现才打破了这个界限，使人们开始认识到电与磁之间有着不可分割的联系。下面介绍几个这方面的实验：1.奥斯特实验：导线沿南北方向放置，下面有一可在水平面内自由转动的磁针。当导线中没有电流通过时，磁针在地磁场的作用下沿南北取向.当导线中通有电流时,磁针就会发生偏转。上述实验表明，电流可以对磁铁施加作用力。2.磁铁对电流（通电导线）也有作用力（水平直导线悬挂在马蹄形磁铁两极间，通电后，导线就会运动）。3.安培实验：通电导线之间有相互作用力，即电流和电流之间也有相互作用力。4.磁铁对运动电荷有作用力。电子流从电子射线管的阴极发射,形成一条电子射线，在旁边放置一块磁铁，就可以看到电子射线的路径发生偏转。大量实验证明，电现象和磁现象存在相互联系。我们知道，电的作用是“近距”的，磁极或电流之间的相互作用也是这样的，不过它通过另外一种场—磁场来传递的。用磁场的观点，可以把上述关于磁铁和磁铁，磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用的各个实验统一起来,概括成这样一个图示：磁场磁铁磁铁电流电流二、物质磁性的起源—安培分子电流假说由于磁极与电荷之间有某些类似之处，最初曾认为磁极是“磁荷”集中的所在（称N极有“正磁荷”，S即由“负磁荷”），并认为磁性起源于“磁荷”，磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的相互作用，通过一系列实验，才逐步认识到“磁荷是不存在的”。截流螺线管的行为很象一块磁铁，启发物理学家们提出这样的问题：磁铁和电流是否本源上是一致的？法国科学家安培提出磁性起源的假说—安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元（磁分子）就是环形电流。安培认为，任何物质的分子都存在环形电流，称为分子电流，分子电流产生的磁场在轴线上的方向可以用右手定则来判断，每一个分子电流相当于一个小磁体。当物质中的分子电流排列得毫无规则时，他们的磁场互相抵消，整个物体不显磁性，但是，在一定条件下，这些分子电流比较有规则的定向排列起来，他们的磁场互相加强，整个物体就会显示出磁性。安培的分子电流的想法基本上是正确的，近代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子自旋和电子的轨道运动合成的结果。这样，上面的图示可简化为：电流磁场电流注意：无论电荷静止还是运动，它们之间都存在着库仑相互作用，但是只有运动着的电荷之间才存在着磁相互作用。§2磁感应强度磁感应线(magneticinduction&magneticinductionline)一、磁感应强度BBB任何运动电荷或电流，在周围空间产生磁场，磁场对外的重要表现是：（1）磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载流导体有磁力的作用；（2）载流导体在磁场内移动时，磁场的作用力将对载流导体作功。这些表现说明了磁场的物质性。磁场的描述是用磁感应强度（由于历史的原因不叫磁场强度）这一物理量。它的定义方法有三种：（1）由试探电流元在磁场中受力来定义；（2）由运动电荷在磁场中所受到的力来定义；（3）由试探线圈在磁场中受的力矩来定义。这三种定义是相互等效的，我们现采用最后一种方式来定义磁感应强度。若一个线圈的线度充分小，通过的电流I0也很小，那么这样的载流线圈称为试探线圈。描述载流线圈的物理量是磁矩，磁矩定义为，按右手法则确定。BmPnSIPmˆ0nˆ实验表明：（1）试探线圈（即载流小线圈）在磁场中受到力矩的作用而发生转动，线圈转动到某一位置时，磁力矩为零，这一位置称为线圈的平衡位置。规定：当线圈处于平衡位置时，线圈的法线方向（磁矩的方向）为该点的磁场方向，这样规定的磁场方向与一个放置在该点的小磁针的北极N的指向一致；（2）载流线圈在磁场中所受的磁力矩M的大小与线圈相对于磁场的取向有关，当线圈从平衡位置转过时，线圈所受磁力矩最大；mP2（3）磁矩不同的载流线圈（不同或不同，或两者都不相同的线圈），在同一磁场中的同一点处受到最大磁力矩不同，但是其比值却是相同的。mPS0I最大MPM/最大PMB/最大这就是说，比值与试探线圈本身的性质无关，仅与线圈所在位置有关，因此这个比值反映了该点磁场的性质。比值大，表示该点的磁场强，比值小，表示该点磁场弱，所以定义磁感应强度的大小为：BB即：磁场中某点的磁感应强度是一个矢量，它的大小等于具有单位磁矩的试探线圈在该点所受到的最大磁力矩，它的方向与试探线圈在该点处于平衡位置时的法线方向一致。在国际单位中，的单位为特斯拉（T）。在实用中有时也用高斯（Gs）作为的单位，1T=104Gs.BBB地球表面附近的地磁感应强度B:赤道大约0.3Gs,两极大约:0.6Gs；一般仪表中永久磁铁B：几千高斯；大型电磁铁产生的B：2T;用超导材料制成的磁体产生的B更强。二、磁感应线为了形象的描述磁场的空间分布，按照下面的规定在空间作出一系列曲线：（1）曲线上任一点切线方向是该点的磁感应强度B的方向；（2）通过垂直于B的单位面积上的曲线根数等于该点B的大小，即曲线密处磁场强，曲线稀处磁场弱。如此作出的曲线称为磁感应线，它没有起点，也没有终点。实验证明:在所有情况下，运动电荷所受磁场力满足下式：，称为洛仑兹力。洛仑兹力有两个主要性质：（1）磁场只对运动电荷有洛仑兹力作用（2）洛仑兹力对运动电荷永远不作功（）.运用判定力的方向时，不仅要注意与的叉乘关系，而且要注意电荷q的正负。当空间某点，除磁场B外还存在电场E时，则运动电荷受到的合力为.BvqFBvqF）BvEq（FvB0vF例题：两个电荷相同的带电粒子同时射入均匀磁场中，速度方向均与磁场垂直。（1）如果两粒子质量相同，速率分别为V和3V，问哪个粒子先回到出发点？（2）如果两个粒子速率相同，质量分别为m和3m，问哪个粒子先回到出发点？两个粒子的轨道半径是否相同？（1）∵，∴两粒子同时回到出发点；（2）m先回到出发点，依，得.qBmT2qBmVRmmRR33回旋加速器、速度选择器、质谱仪、汤姆孙实验等等，这些实例不论简单还是复杂，都有一个共同特点：应用了电荷在电场和磁场中受力的规律。该题（1）的结果是制造回旋加速器的理论依据，（2）的结论是制造质谱仪的理论依据。§3毕奥—萨伐尔定律(Biot-Savart’slaw)仿照静电场的研究方法，我们可以把电流看作是无穷多小段电流的集合。各小段电流称为电流元，电流元常用矢量来表示，某一电流产生的磁场就是各个电流元在空间产生的磁场迭加的结果。Id1820年，法国科学家毕奥、萨伐尔和拉普拉斯在实验基础上，分析总结出电流元产生磁场的规律：毕奥—萨伐尔定律（以下简称毕—萨定律），其内容如下：数学表达式是：20ˆ4rrlIdBd式中是电流元在场中任一点P产生的磁感应强度，为由指向P点的单位矢量,称为真空磁导率，是一个有量纲的常数毕奥—萨伐尔定律是一个实验定律，它是由一些简单的、典型的载流导体所产生的磁场为基础，经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得出的，事实上，也不可能得到单独的电流元。BdIdIdrˆ0170104AmT实验表明，磁场和电场一样，遵从叠加原理，即任意载流导线在空间某点的磁感应强度等于所有电流元在该点的磁感应强度矢量和。（只有积分，为什么？）BBdB3rrlId40它是一个矢量积分，实际使用时，要化成标量积分进行计算。毕—萨定律的应用1.载流直导线的磁场OA1A2I21r0rldlBd解：任意电流元产生的元磁场的方向都一致，只需求的代数和，BdIdBd21AAdBB2120sin4AArIdlctgrl0ctgr02100sin4rdIB2100coscos4rI1）沿长线上，,0210B2）无限长载流导线，，则21,0004rIB3）半无限长载流导线，,212004rIB我们在实际中遇到的当然不可能真正是无限长的直导线。然而若在闭回路中有一段长度为l的直导线，在其附近远小于l的范围内上式近似成立。0r2.载流圆线圈轴线上的磁场BdBdPIO0rrrAA解：作对称性分析，得总磁感应强度沿轴线方向。BcosdBBsin420rIdldB,sin,20rr2200sin4rIdldB23202202rRIRcosdBBdlrIcossin42200dlrRRrRrrI202220202004考虑两个特殊情形：（1）在圆心处，r0=0,（2）当r0R时，磁感应强度的方向与I的方向成右手螺旋关系。RIB2030202rIRBB3.载流螺旋线管中的磁场绕在圆柱面上的螺旋形线圈叫做螺线管，求螺线管轴线上的磁场分布。设螺线管的半径为R，总长度为L，单位长度内的匝数为n，如果螺线管是密绕的，计算轴向磁场时，可以忽略绕线的螺距，把它近似的看成是一系列圆线圈紧密并排起来组成的。dll21rRBdPx2322202lRIndlRdBRctgldRdl2csc22lR222ctgRR22cscRLdBB2322202lRIndlRLdnI21sin20120coscos2nI方向沿X轴正方向。考虑两个特殊情形：（1）无限长螺线管L,102nIB0这个结论不仅适用于轴线上，在整个无限长螺线管内部的空间里磁场都是均匀的；（2）在半无限长螺线管的一端，,21,0220nIB即在半无限长螺线管端点轴上的磁场强度比中间减少了一半。这个结果是容易理解的。§4磁通量磁场的“高斯定理”（通量定理）（magneticflux）（“Gauss’theorem”ofmagneticfield）一、磁通量研究磁场的性质，仿照电场的情况，引入磁通量的概念。通过磁场中面元dS的磁感应通量（即磁通量）定义为直观意义：穿过面元ds的磁感应线的条数。SdBdBcosBd