北京各区中考数学07-11综合压轴题解析汇总(经典)

1北京中考数学---几何、二次函数综合题压轴题解析汇总25、（2007•北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．点评：解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题25、（2008•北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原2问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．24、（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EC2．判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FC1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．25、（2010•北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．腰三角形的性质知∠BAD=∠BDA=75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；（2）根据旋转的性质，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四4边形ABKC是是等腰梯形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．解答：解：（1）①当∠BAC=90°时，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=45°，在△ABC中，∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC（等角对等边）；②当∠DAC=15°时，∠DAB=90°﹣15°=75°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=75°，∴∠DBA=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°，即∠DBC=15°，∴∠DBC的度数为15°；③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBC=15°：∠ABC=45°=1：3，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6，∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，∵∠ACB=∠6=60°﹣∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°﹣2∠1，∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2=180°，5∴∠2=2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．24、（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．（2008海淀一模）23、已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线．（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED是等边三角形．（2008海淀一模）25、已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q．（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）．（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ？请证明你的结论．（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ？并写出论证的过程．种情况讨论即可求解．形的判定与性质；正方形的性质。6（2008海淀二模）23、已知：△ABC．（1）如果AB=AC，D、E是AB、AC上的点，若AD=AE，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB＞AC，D、E是AB、AC上的点，若BD=CE，请你确定DE与BC的数量关系，并证明你的结论．点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系．能够巧妙构造全等三角形是解决此题的关键．（2008海淀二模）25、根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．（2009海淀一模）24、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．专题：阅读型。∵DA=DB，EB=EC，7∴AH=BH，∠1=∠HDB，CK=BK，∠2=∠BEK．∴HK∥AC．∴点H、K、E在同一条直线上．下同证法一．点评：此题考查了全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质的性质及直角三角形的性质等知识点，在做题时要注意隐含条件的运用．（2009海淀二模）25、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1，若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明．（2010海淀一模）25、已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是，此时=；（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．8点（2008西城一模）25.如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；②当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出△MBH≌△MBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴每个内角均为120°．∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，∴∠AFM=∠BMH．（2）解：猜想：FM=MH．证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．②当点M与点A不重合时，9证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．∵∠BAF=120°，AF=AB，∴∠AFB=∠FBA=30°．∵{BH=BG∠MBH=∠MBGMB=MB，∴△MBH≌△MBG，∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，∴∠AFM+∠MGB=30°，∵∠AFM+∠MFB=30°，∴∠MFB=∠MGB．∴FM=MG=MH．证法二：如图2，在AF上截取