4.1.1圆的标准方程终极版

4.1.1圆的标准方程老林中学数学组何孝阳2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？复习引入AMrxOy2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新课问题：如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，圆上任意点M(x,y)具有什么特征？——M点到圆心A的距离等于半径2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳圆就是由具有上述特征的点构成的集合，你能用描述法来表示这个集合吗？rMAMP|||符合上述条件的圆的集合：圆的方程xOyA(a,b)Mr(x,y)2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距离能用什么公式表示？rbyax22)()(222)()(rbyax圆的方程.21221221yyxxPP根据两点间距离公式：则点M、A间的距离为：.22byaxMA即：2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax圆的标准方程点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳圆的标准方程把称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standardequationofcircle）.222)()(rbyax说明：1.特点：明确给出了圆心和半径。2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件，即圆心的横坐标，圆心的纵坐标和半径。2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳222)()(rbyax特殊位置的圆方程因为圆心是原点O(0,0)，将x＝0，y＝0和半径r带入圆的标准方程：圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程是什么？得：222)0()0(ryx整理得：222ryx2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳练习1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；229xy（2）圆心在点C(3,4)，半径是；522345xy（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)228325xy2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）2216xy（2）22129xy（3）222xaya1,06（-1，2）3,0||aa2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳例1写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．)3,2(A)7,5(1M)1,5(2M解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：)3,2(A25)3()2(22yx把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；)7,5(1M25)3()2(22yx1M1M典型例题)1,5(2M2M2M把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyax点与圆的位置关系AxyoM1M2M3从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyax点与圆的位置关系AxyoM1M2M3可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径r；点在圆内——点到圆心的距离小于半径r．2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳已知点和圆C：,则有：),(000yxM222)()(rbyax.,)()(;,)()(;,)()(022020022020022020外在圆则点若上在圆则点若内在圆则点若CMrbyaxCMrbyaxCMrbyax归纳2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳例2的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．ABC分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．解：设所求圆的方程是（1）222)()(rbyax因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是222222222)8()2()3()7()1()5(rbarbarba典型例题2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳.25,3,22rba所以，的外接圆的方程．ABC25)3()2(22yx典型例题解此方程组，得：分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．解：例2的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．ABC2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线l:x－y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线上．又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线的交点，半径长等于|CA|或|CB|．'l'l解：因为A(1,1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标),21,23(直线AB的斜率:31212ABk典型例题2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳因此线段AB的垂直平分线的方程是'l)23(3121xy即033yx圆心C的坐标是方程组01033yxyx的解．典型例题例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．解：2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳所以圆心C的坐标是)2,3(圆心为C的圆的半径长5)21()31(||22ACr所以，圆心为C的圆的标准方程是25)2()3(22yx典型例题解此方程组，得.2,3yx例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．解：2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳知识小结（1）圆的标准方程的结构特点.（2）点与圆的位置关系的判定.（3）求圆的标准方程的方法：待定系数法；利用平面几何知识确定圆心和半径的方法.2020年4月25日11时0分四川营山老林中学何孝阳