57,正余弦定理在解高考题中的应用

编号学士学位论文正余弦定理在解高考题中的应用学生姓名：再努尔·阿布力肯学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：07-1班指导教师：完成日期：2012年4月19日1学士学位论文BACHELOR’STHESIS1摘要正余弦定理是应用很广泛的定理，在高考题中的应用也非常重要，在高考题中所占的分数也很高，本稿中我主要针对正，余弦定理在高考题中的应用做以下介绍：怎样解斜三角形，怎样判断三角形形状及证明，求值，求面积有关的问题以及在向量中的应用，在解析几何，立体几何和它在实际生活中的应用。关键词：正弦定理；余弦定理。学士学位论文BACHELOR’STHESIS2目录摘要............................................................................................................................1引言............................................................................................................................1一，正弦定理............................................................................................................1二，余弦定理............................................................................................................1三，正余弦定理的应用............................................................................................21.求解斜三角形中的应用……………………………………………………………………22.在判断三角形形状及证明恒等式的应用…………………………………………………43.在求值问题中的应用………………………………………………………………………54.在解决有关面积问题的应用………………………………………………………………65.在解有关向量问题中的应用………………………………………………………………76.在解析几何中的应用………………………………………………………………………97.在立体几何中的应用……………………………………………………………………..118.在实际问题中的应用……………………………………………………………………...12总结..........................................................................................................................16参考文献..................................................................................................................17致谢..........................................................................................................................18学士学位论文BACHELOR’STHESIS1引言正，余弦定理在高考题中的应用是很广泛，对广大考生来说也并不陌生。正在平时的学习中，把它当作一种在三角形中求角，求边的工具。所遇到的问题多数情况并不复杂，但考生很少去思考在应用这一定理时应该注意些什么，会有什么样的难点，高考的考察会到一个什么样的程度，如果忽视这些问题，一旦高考题中出现了专门考察正，余弦定理的三角函数问题，就会导致考试做题是无从下手，进而出现得分率低的情况，我通过这编论文给大家说明正，余弦定理在解决高考题中的应用。一，正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sinsinsinabcRABC,其中R是三角形外接圆的半径。正弦定理可以变形为：1等式型:,,;sinsinsinsinsinsinabacbcABACBC2分体型：2sin,2sin,sinaRAbRBcC;3等比型：::sin:sin:sinabcABC.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：1已知两角和任意一边，求其它两边和一角;2已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。二，余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cosabcabA；2222cosbcacaB;学士学位论文BACHELOR’STHESIS22222coscababC.余弦定理可以变形为：222222222cos,cos,cos.222bcacababcABCabcaab利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：1已知三边，求三角；2已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。下面举例说明正，余弦定理在解高考题中的具体应用。三，正余弦定理的应用1.求解斜三角形中的应用求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角（或两角一边或三边），求其它三个元素问题进而求出三角形的三线（高线，角平分线，中线）及周长等基本问题。例1：(2011年，湖北高考题)设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知11,2,cos4abC.1求ABC的周长；2求cosAC的值。解：222112cos1444,4cababC2cABC的周长为1225.abc12cos,4C22115sin1cos144CC学士学位论文BACHELOR’STHESIS3ABDC15sin154sin28aCAc.,,acAC故A为锐角，22157cos1sin1,8871151511coscoscossinsin.848416AAACACAC例2：(2010年，陕西高考题)如图，,AB是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知533AB海里，906030,DBA904545,1804530105.DABADB在DAB中，由正弦定理，得sinsinDBABDABADB533sin45sinsinsin105ABDABDBADB533sin45sin45cos60cos45sin60学士学位论文BACHELOR’STHESIS45331103312(海里).又30906060,203(DBCDBAABCBC海里)，在DBC中，由余弦定理，得22212cos30012002103203900,2CDBDBCBDBCDBC30(CD海里)，需要的时间为301(30t小时).答：救援船到达D点需要1小时。2.在判断三角形形状及证明恒等式的应用例3：(2010年，上海高考题)ABC的三个内角满足sin:sin:sinABC5:11:13，判断ABC的形状。解：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理，得::5:11:13abc由余弦定理得，22251113cos0,2511C角C为钝角.ABC是钝角三角形。例4：(2000年，北京高考题)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,a,bc，求证：222sinsinABabcC.证明：由余弦定理：2222cos;abcbcA2222cosbcacaB得22222cos2cosabbabcAacB，即222abccoscosbAaBc.由正弦定理得：sinsin,sinsinaAbBcCcC学士学位论文BACHELOR’STHESIS5222abccoscosbAaBcsinsincossincos.sinsinABABBACC3.在求值问题中的应用对于三角形中的求值问题，通常将三角函数式化为正弦，余弦的形式，为运用正弦定理和余弦定理创造条件。例5：(2010年，江苏高考题)在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若6cosbaCab，则求tantantantanCCAB的值。解：222226cos,6,2baababcCababab即得22232abc，2tantan11sintantantantantansinsincosCCCCABABABC2coscabC222222666432cccbaababcab.例6：(2005年，天津高考题)在ABC中，角,,ABC所对的边长分别为,,abc，设,,abc满足条件222bcbca和132cb，求A和tanB的值。解：方法一：由余弦定理得222cos2bcaAbc12，因此60A，在ABC中，180120CABB,由已知条件且应用正弦定理得：sin1201sin32sinsinBcCbBBsin120coscos120sinsinBBB21cot22B，解得cot2,B从而1tan.2B学士学位论文BACHELOR’STHESIS6方法二：由余弦定理得222cos2bcaAbc12，因此60A；由222bcbca，得22111511333.424accbbb152ab(1)，由正弦定理得231sinsin.2155bBAa由(1)式知ab，故BA.因此B为锐角，22cos1sin,5BBsin1tan.cos2BBB4.在解决有关面积问题的应用用三角方法求解面积问题，对三角形应设法找到应用公式所必备的条件，对组合图形，则需充分利用图形中相关的线段，角，适当添加辅助线，将它的面积转化为三角形面积来解决。例7:(2009年，北京高考题)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,a,,bc4,cos,3.35BAb(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积。解：(1)因为角,,ABC为ABC的内角，且3B4,cos5A.所以23,sin35CAA，于是231343sinsincossin.32210CAAA(2)由(1)知3sin5A，343sin.10C又因为3B，3b，所以在ABC学士学位论文BACHELOR’STHESIS7ADBC中，由余弦定理得sin6sin5bAaB，于是ABC的面积为：1163433693sin.2251050SabC例8:(2001年，全国高考题)已知圆内接四边形ABCD的边长2AB,6,4BCCDDA，求四边形ABCD的面积。解：如图所示，连结BD，则四边形面积为：ABDCBDSSS11sinsin2