二项式定理--课件

第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试58二项式定理第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1.2x－1x4的展开式中的常数项为()A．－24B．－6C．6D．24解析二项展开式的通项Tr＋1＝Cr4(2x)4－r－1xr＝Cr424－r(－1)r·x4－2r，令4－2r＝0，即r＝2，故常数项为C2422(－1)2＝24.2．若二项式x－2xn的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15解析二项式x－2xn的展开式的第5项为T5＝C4n(x)n－4·－2x4，故n－42－4＝0，即n＝12.3．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()A．9B．10C．－9D．－10解析x3＋x10＝x3＋[(x＋1)－1]10，题中a9只是[(x＋1)－1]10的展开式中(x＋1)9的系数，故a9＝C110(－1)1＝－10.4．(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．4解析(1＋2x)3的展开式中常数项是1，含x的项是C23(2x)2＝12x；(1－3x)5的展开式中常数项是1，含x的项是C35(－3x)3＝－10x，故(1＋23x)3(1－3x)5的展开式中含x项的系数为1×(－10)＋1×12＝2.5.ax＋1x(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－20B．－10C．10D．20解析令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以ax＋1x(2x－1)5＝x＋1x(2x－1)5，则展开式中常数项为2C45(－1)4＝10.6．若x＋2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180B．120C．90D．45解析由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n＝10，Tr＋1＝Cr102x2r·(x)10－r＝Cr102rx10－5r2，令10－5r2＝0，得r＝2，故常数项是C21022＝180.7．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a0和a1的值分别为()A．32,80B．32,40C．16,20D．16,10解析由于x＋1＝x－1＋2，因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展开式中(x－1)的系数为a1＝C4524＝80.令x＝1，得a0＝32，故选A.8．已知x2＋12xn(n∈N*)的展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为()A.45256B.47256C.49256D.51256解析由题意知C0n＋C1n＋C2n＝56，∴n＝10，∴Tr＋1＝Cr10(x2)10－r·12xr＝Cr1012rx20－5r2，令20－5r2＝0，得r＝8，∴常数项为C810×128＝45256，故选A.9.x＋33xn的展开式中，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，则(1－x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________．－20解析展开式中，各项系数的和为4n，二项式系数的和为2n，由题知2n＝64，所以n＝6，(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－C36＝－20.10．1＋3C1n＋9C2n＋…＋3nCnn＝________.4n解析在二项展开式(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋…＋Cnnxn中，令x＝3，得(1＋3)n＝C0n＋C1n3＋C2n32＋…＋Cnn3n，即1＋3C1n＋9C2n＋…＋3nCnn＝4n.11.2x－1x6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．－160解析∵2x－1x6＝2x－1x6＝2x－16x3，又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r，令6－r＝3，得r＝3.∴T3＋1＝－C36(2x)3＝－20×23·x3＝－160x3，∴2x－1x6的二项展开式中的常数项为－160.12．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．－210解析(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C010(x2)10－C110(x2)9(x－1)＋…－C910(x2)(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以x3的系数为－C910C89＋C1010(－C710)＝－210.二、高考小题13．[2015·全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析由于(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，其展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－ryr(r＝0,1,2，…，5)，因此只有当r＝2，即T3＝C25(x2＋x)3y2中才能含有x5y2项．设(x2＋x)3的展开式的通项为Si＋1＝Ci3(x2)3－i·xi＝Ci3x6－i(i＝0,1,2,3)，令6－i＝5，得i＝1，则(x2＋x)3的展开式中x5项的系数是C13＝3，故(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数是C25·3＝10×3＝30.14．[2015·湖南高考]已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数为30，则a＝()A.3B．－3C．6D．－6解析展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·(x)5－r·－axr＝(－1)rCr5ar·x52－r(r＝0,1,2，…，5)．令52－r＝32，得r＝1，所以展开式中含x32项的系数为(－1)C15·a，于是－5a＝30，解得a＝－6.15．[2014·浙江高考]在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Cm6，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Cn4，故f(m，n)＝Cm6·Cn4.从而f(3,0)＝C36＝20，f(2,1)＝C26·C14＝60，f(1,2)＝C16·C24＝36，f(0,3)＝C34＝4，故选C.16．[2016·全国卷Ⅰ](2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字填写答案)．10解析Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·(x)r＝25－rCr5·x5－r2，令5－r2＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10.17．[2016·山东高考]若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.－2解析Tr＋1＝a5－rCr5x10－52r，令10－52r＝5，解之得r＝2，所以a3C25＝－80，a＝－2.18．[2015·全国卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.3解析解法一：∵(1＋x)4＝x4＋C34x3＋C24x2＋C14x＋C04x0＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，∴(a＋x)(1＋x)4的奇数次幂项的系数为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，∴a＝3.解法二：设(a＋x)(1＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5.令x＝1，得16(a＋1)＝b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5，①令x＝－1，得0＝b0－b1＋b2－b3＋b4－b5，②由①－②，得16(a＋1)＝2(b1＋b3＋b5)，即8(a＋1)＝32，解得a＝3.三、模拟小题19．[2016·洛阳二测](x＋1)(x－2)6的展开式中x4的系数为()A．－100B．－15C．35D．220解析由二项式定理可得(x－2)6展开式的通项Tr＋1＝Cr6(－2)rx6－r，∴x3的系数为C36(－2)3＝－160，x4的系数为C26(－2)2＝60，∴(x＋1)(x－2)6的展开式中x4的系数为－160＋60＝－100.20．[2016·广东测试]x2－12x6的展开式中，常数项是()A．－54B.54C．－1516D.1516解析Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－12xr＝－12rCr6x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.∴常数项为－124C46＝1516.故选D.解析22．[2017·福州质检]若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为_________．56解析因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C2n＝C6n，所以n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝Ck8x8－k1xk＝Ck8x8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以T6＝C581x2，所以1x2的系数为C58＝56.23．[2016·福建漳州二模]已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为()A．－20B．0C．1D．20解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.24．[2017·甘肃会宁月考]1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87解析1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.25．[2016·沈阳三模]从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是()A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x11)B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋11x)C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋11x11)D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)…(1＋x＋x2＋…＋x11)解析x9是由x，x2，x3，x4，x5，…，x11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x11)的展开式中x9的系数，选A.26．[2016·福建厦门联考]在1＋x＋1x201510的展开式中，含x2项的系数为()A．10B．30C．45D．120解析因为1＋x＋1x201510＝1＋x＋1x201510＝(1＋x)10＋C110(1＋x)91x2015＋…＋C10101x201510，所以x2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为C210x2，系数为C210＝45.故选C.27．[2016·广东肇庆三模](x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是()A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y5解析设第r＋1项系数最大，则有Cr7·2r≥Cr－17·2r－1，Cr7·2r≥Cr＋17·2r＋1，即7！r！7－r！·2r≥7！r－1！7－r＋1！·2r－1，7！r！7－r！·2r≥7！r＋1！7－r－1！·2r＋1，即2r≥18－r，17－r≥2r＋1，解得