二项式定理的性质

二项式定理的性质学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的几个重要性质复习回顾:二项式定理及展开式:二项式系数1rnrrrnTCab(0,1,,)rnCrn通项011*()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6======a+ba3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6a2+2ab+b2二、新课(a+b)1=1a+1b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5(a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6(a+b)7=?(a+b)8=?…………(a+b)n=?(a+b)1___(a+b)2___(a+b)3___(a+b)4___(a+b)5___(a+b)6___……(a+b)n___(a+b)n+1__111211331146411510105116152015611C…CC……C11n1rnrn1nn1C……C……C111nrn1nn1……杨辉三角(a+b)1___(a+b)2___(a+b)3___(a+b)4___(a+b)5___(a+b)6___……(a+b)n___(a+b)n+1__111211331146411510105116152015611C…CC……C11n1rnrn1nn1C……C……C111nrn1nn1……杨辉三角《详解九章算法》中记载的表这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：11121133114641151010511615201561与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性mnnmnCC二项式系数的性质kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn1性质2：增减性与最大值2111nkkkn由：21nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O615201nnnnnnCCCCba，，，，展开式的二项式系数是）（210nrfrCrn，，，，其定义域是），（为自变量的函数可看成是以从函数的角度看，210f（r）rnO6152012n2n212n20103035Onf（r）n为奇数212n当n是偶数时，中间的一项取得最大值；2nnC当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。21nnC21nnCn为偶数在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．性质3：各二项式系数的和性质4:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.)()()1()11(31203210nnnnnnnnnnnnccccccccc3120nnnncccc即：3120nnnncccc例1：求(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项，依二项式系数性质中间一项的二项式系数最大，则：T5=C84(2x)4=70×16x4=1120x4三、例题解：依题意,n为偶数，且若将“只有第10项”改为“第10项”呢？例2已知展开式中只有第10项系数最大，求第五项。nxx43118,1012nn4434184181451)(xxCTT43060x例３、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则(1)a1+a2+a3+…+a7=_______(2)a1+a3+a5+a7=_________分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取－1，1。2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是().1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().AA.第6项B.第7项C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。注：四、练习3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为A.8B.9C.10D.114.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（）A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n项D第2n+1项或2n+2项5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为（）A16B.15C.14D.13AAD6已知(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+……+a9x+a10,(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值(2)求a0+a2+a4+……+a10的值（2）数学思想：函数思想a图象、图表；b单调性；c最值。（3）数学方法：赋值法、递推法（1）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和五、小结二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。第3课时二项式定理基础知识梳理1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)，所表示的定理叫做二项式定理．基础知识梳理在公式中，交换a，b的顺序对其二项展开式是否有影响？【思考·提示】(a＋b)n与(b＋a)n虽然结果相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，(a＋b)n的展开式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中a和b不能随便交换．基础知识梳理二项展开式r＋12．相关概念及公式(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的．(2)各项的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(3)展开式中的叫做二项展开式的通项，记作：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示展开式的第项．Crnan－rbr(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝.基础知识梳理1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn基础知识梳理距首末两端等距离的两项的二项式系数相等3．二项式系数的性质(1)二项式系数的对称性：，即：C0n＝Cnn，C1n＝Cn-1n，…，Crn＝Cn-rn.基础知识梳理(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数是，当kn＋12时，二项式系数是．递减的递增的基础知识梳理当n是偶数时，取得最大值．当n是奇数时，中间两项Cn－12n和Cn＋12n相等且取得最大值．中间一项Cn2n基础知识梳理2n－12n(3)展开式系数总和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝，其中奇数项系数的和等于偶数项系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.A．15B．－20C．－15D．20答案：B三基能力强化1．(教材习题改编)(x－1x)6的展开式中常数项为()答案：C三基能力强化2．(1＋x2)5的展开式中x2的系数为()A．10B．5C.52D．13．二项式(1－3x)6的展开式中系数最大的项是()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项答案：C三基能力强化4．(2008年高考安徽卷改编)设(1＋x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，则a0，a1，…，a7中所有奇数的和为________．答案：128三基能力强化答案：5三基能力强化5．(2008年高考湖南卷)记(2x＋1x)n的展开式中第m项的系数为bm，若b3＝2b4，则n＝________.课堂互动讲练考点一求特定项或特定项的系数求二项展开式中的特定项，一定要抓住展开式中的通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，要注意通项是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0,1，…，n.求解时要将通项化成常数乘一个未知数多少次方的形式，然后根据需要求适合条件的项．课堂互动讲练例1已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．课堂互动讲练【思路点拨】利用通项确定n，进而根据特定项的特征求解．课堂互动讲练【解】(1)二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cnrxn－r3(－12)rx－r3＝(－12)rCnrxn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.课堂互动讲练(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴含x2项的系数为C102(－12)2＝454.(3)由题意知：10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，课堂互动讲练则10－2r＝3k，则r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C102(－12)2x2，C105(－12)5，C108(－12)8x－2【误区警示】这类带有减号的二项展开式最容易出现的问题就是忽视了(－1)r这个因素，导致最后结果产生符号的差异，出现错误．课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究1．(x＋14x)n展开式中各项系数的和为256.求(1)n的值；(2)展开式中所有有理项．课堂互动讲练解：(1)由题意2n＝256，∴n＝8.(2)通项公式Tr＋1＝C8r(x)8－r14xr＝C8rx16－3r4，又16－3r4＝4－3r4，其中0≤r≤8，要使展开式中的项为有理项，只要x的指数为整数，则r＝0,4,8.所以第1项，第5项与第9项为有理项，它们分别是x4,70x，x－2.课堂互动讲练二项式定理实质是关于a，b，n的恒等式，除了正用、逆用这个恒等式，还可根据要求系数和的特征，让a、b取相应的特殊值，至于特殊值a、b如何选取，视具体问题而定．没有一成不变的规律．课堂互动讲练考点二二项展开式中的系数之和问题课堂互动讲练例2(2009年高考陕西卷)若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a200922009的值为()A．2B．0C．－1D．－2课堂互动讲练【思路点拨】该题解答的关键是比较系数，当x＝12时，等式右边与所求相同．课堂互动讲练【解析】依题意令x＝12，由(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，得(1－2×12)2009＝a0＋a12＋a222＋…＋a200922009＝0，令x＝0，可得a0＝1，所以a12＋a222＋…＋a2009a2009＝－1，答案选C.【答案】C课堂互动讲练【名师点评】本题主要使用赋值的办法来解决．2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0；(4)|a7|＋|a6|＋…＋|a0|.课堂互动讲练跟踪训练解：(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋