积分中值定理的叙述方式及其应用

1/5第九讲积分第一中值定理的叙述方式及其应用积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不同。目前一般的《数学分析》教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方式：定理1设()[,],()[,]fxCabgxRab，且()gx在[,]ab不变号，则[,],()()()()bbaaabfxgxdxfgxdx。关于定理1的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数学分析教科书。定理1中的结论，[,]ab可以改为(,)ab。将闭区间改为开区间，有时应用起来更方便。定理2设()[,],()[,]fxCabgxRab，且()gx在[,]ab不变号，则(,),()()()()bbaaabfxgxdxfgxdx。证明：因为()[,],fxCab所以()fx在[,]ab上有最大值M，最小值m，设1212(),(),,[,]fxmfxMxxab。先证明存在常数[,]mM有()()()bbaafxgxdxgxdx。（9。1）不妨设()0,[,]gxxab，则()0bagxdx，且()()()()()()()()bbbaaamgxfxgxMgxmgxdxfxgxdxMgxdx2/5若()0()()0bbaagxdxfxgxdx，则m与M之间的任何数都可为。若()0bagxdx，则()()()babafxgxdxmMgxdx，取()()()babafxgxdxgxdx，则mM，()()()bbaafxgxdxgxdx。现证定理2，若()0bagxdx，定理2显然成立。今设()0bagxdx。（1）若（9。1）式中的满足：mM，由于()[,]fxCab，所以存在12,[,]xxab，12(),()fxmfxM，不妨设12xx，因为()fx在[,]ab连续，从而1212[,],(),,(,)xxfxxab，有()()()()bbaafxgxdxfgxdx。（2）若mM至少有一个等号成立，不妨设m，则()()0,[,]Fxfxxab。若(,),()abf则定理已成立。假如，(,),()xabfx，则将导致矛盾。事实上，因为已有()()()babafxgxdxgxdx和()()0,(,)Fxfxxab。今将闭区间[,]ab作n等分，从左到右记各小区间为12,,,n，并3/5记()(1,2,,)kkIgxdxkn。又记[,]ab的长度为，则适当取n，总可使积分()0bnanIgxdx。（9。2）因若对一切n均有0()lim0bnaIgxdxI矛盾。又因为231nIIII，（9。3）这里，0,(2,3,,1)kIkn，（9。4）由（9。2）、（9。3）、（9。4）知至少存在一个子区间0k，使其相应积分00kI，注意到闭区间0001[,]kkkaann上的连续函数0()()0,kFxfxx，记00min{()}kxffx，则00f，从而0001000()()()[()]()[()]()[()]()()0kkkbbbaaankkfxgxdxgxdxfxgxdxfxgxdxfxgxdxfgxdxfI矛盾。故(,),()()()()bbaaabfxgxdxfgxdx。证明某些命题，应用定理2的结论比应用定理财的结论更为简单。例1．（第八讲第6题）设()ft在(,)连续，证明：10lim()(0)1nnxfdxfx。4/5（武汉大学2003年试卷）证明：因为()ft在(,)连续，对任意的自然数n[0,1],[0,1][0,1]()[0,1]11nnxxtCxtfCxx，0(1),10()(0)()(0)(0,1)11nnxfdxfffx因为，(0,1),lim0,1nn由()ft的连续性，lim()(0)1nnff，所以，,,()(0)1nNnNff，从而有10()(0)1nxfdxfx。所以，10lim()(0)1nnxfdxfx。例2．证明：20limsin0nnxdx证明：方法1：用定理1证明。0,0,[0,][0,][,]2222，从而有22220022sinsinsinsin()sin2nnnnnxdxxdxxdxxdx[0,]2，所以，5/5sin1,limsin0,,sin2nnnnNnN，从而有，20sin2nxdx，所以，20limsin0nnxdx。方法2：用定理2证明。由定理睬，知2200sinsinsin0(),(sin1)2nnnnxdxdxn。例3．证明不等式22012121sin2dxx。证明：222011,(0,)22111sin1sin22dxx因为，221111sin1122211sin2，所以，22012121sin2dxx。习题91．设()yx在[0,)有连续导数，且lim[()()]0xyxyx，求证：lim()0xyx。2．证明，若()fx在[0,2]连续，则22002lim()sin()nfxnxdxfxdx。