【金版学案】2013-2014学年度高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点同步辅导与检测课件 新

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点函数的应用1．掌握零点的概念，理解函数零点与方程的根之间的联系．2．初步形成用函数观点处理问题的意识，体会函数与方程的思想．3．领会函数零点与相应方程根的关系．4．掌握零点存在的判定条件．基础梳理1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的_______________．例如：y＝2x＋1的函数图象与x轴的交点为：____________，有一个零点是：____________.二次函数y＝x2－x－2函数图象与x轴的交点为：____________，有二个零点是：____________.2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的_________，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的____________．1．f(x)＝0零点(－1,0)，(2,0)－1与22．实数根横坐标－12，0－12例如：已知函数f(x)零点为：x＝3，则方程f(x)＝0的实数根为___，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标为____．3．方程f(x)＝0有________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在________内有零点．例如：二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：f(－2)·f(1)_______0(填＜或＞)．在区间______上有________．2．x＝333．实数根交点零点4．(a，b)＜(－2,1)零点思考应用1．如果f(x)是区间上的单调函数，且满足(a)·f(b)0，那么f(x)在区间上一定有零点吗？解析：不一定．若f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么f(x)在区间恰有一个零点；若f(x)在区间上的图象不是一条连续的曲线，那么f(x)在区间上可能没有零点．如函数f(x)＝x＋1，0≤x≤1x－1，－1≤x0[]a，b[]a，b[]a，b[]a，b[]a，b[]a，b2．如果函数f(x)在区间[a,b]有零点，那么一定有f(a)·f(b)0吗？解析：如果函数f(x)在区间有零点，不一定有f(a)·f(b)0.如函数f(x)＝x2－1在区间上有零点－1和1，但f(－2)·f(2)0.3．如果连续函数f(x)在区间[a,b]没有零点，是否一定有f(a)·f(b)0?解析：连续函数f(x)在区间没有零点，意味着函数f(x)在区间上的函数值同号，故一定有f(a)·f(b)0.[]a，b[]－2，2[]a，b[]a，b自测自评1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()A．(0,1)B．(1,1.25)C．(1.25,1.75)D．(1.75,2)解析：构造函数f(x)＝lgx＋x－2，由f(1.75)＝f74＝lg7－lg4－14＝lg7－lg4＋lg410＝lg7－lg4×1014.∵74＝2401，4×10144＝2560，∴7＜4×1014.∴lg7－lg(4×1014)＜0.又由f(2)＝lg20知x属于区间(1.75,2)．答案：D2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以零点在区间(0,1)上，选C.答案：C3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：由f(－1)＝－30，f(0)＝10及零点定理知f(x)的零点在区间(－1,0)上．答案：B12求简单函数的零点求下列函数的零点：(1)f(x)＝x2－3x－4；(2)f(x)＝log2x.解析：(1)令f(x)＝x2－3x－4＝0解得x1＝4，x2＝－1，所以f(x)＝x2－3x－4的零点是：4，－1.(2)令f(x)＝log2x＝0得x＝1所以f(x)＝log2x的零点为1.跟踪训练1．求下列函数的零点：(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋6x＋9.(1)1与－18(2)－3函数零点的判断(1)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C.和(3,4)D．(e，＋∞)(2)函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点的个数是________．2x1e，1解析：(1)易知f(x)在其定义域上为增函数，∴f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A不对；又f(3)＝ln3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有一个零点．(2)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．23法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．答案：(1)B(2)1跟踪训练2．方程log3x＋x3＝0在区间13，1内有无实根？为什么？解析：设f(x)＝log3x＋x3∵f13＝－2627＜0，f(1)＝1＞0，∴f13·f(1)＜0.∴f(x)在13，1内有零点，即方程log3x＋x3＝0在13，1内有实根．二次函数的零点问题当a为何值时，函数y＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上．分析：函数的零点在区间(0,1)和区间(1,2)上，也就是方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的根在这两个区间上．解析：设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上，等价于f00，f10，f20，⇒a2－a－20，a2－2a－80，a2－3a0，⇒a－1，或a2，－2a4，a0，或a3⇒－2a－1，或3a4.跟踪训练3．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求a的取值范围．解析：由题意知f(0)·f(1)＜0，即(－1)×(a－1－1)＜0，解得a＞2.零点的存在性与零点个数问题设函数f(x)＝x－ln(x＋2)，证明函数f(x)在[e－2－2，e4－2]内有两个零点．解析：因为f(e－2－2)＝e－20，f(e4－2)＝e4－60，f(0)＝－ln20,又函数f(x)在[e－2－2，e4－2]上的图象是连续的，所以函数f(x)在(e－2－2,0)及(0，e4－2)上各有一个零点，所以函数f(x)在[e－2－2，e4－2]内有两个零点．跟踪训练4．(2010年福建卷)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；当x0时，令－2＋lnx＝0解得x＝e2，故函数有两个零点，选B.答案：B4．函数f(x)＝的零点个数为()A．3B．2C．1D．0一、选择填空题1．设函数f(x)＝x3＋ax＋b是定义域[－2,2]上的增函数，且f(－1)f(1)＜0，则方程f(x)＝0在[－2,2]内()A．可能有三个实数根B．可能有两个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且f(－1)f(1)＜0，∴f(x)在[－1,1]上有唯一的实根，故在[－2,2]上也只有唯一实根．答案：C2．方程lgx＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解()A．[－10，－0.1]B．[0.1,1]C．[1,10]D．(－∞，0]解析：记f(x)＝lgx＋x，∵f(0.1)·f(1)＝(lg0.1＋0.1)(lg1＋1)＝－0.9×1＜0，∴在[0.1,1]内有解．答案：B1．学习函数零点的概念要注意联系函数、方程、不等式内容以及数形结合，理解其本质．2．零点不是点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，是一个实数．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．应用以前已学习过知识解决函数零点问题，如二次方程判别式、求根公式、根与系数的关系等.