【新课标】2012年高考数学专题冲刺复习专题十一第7讲

第7讲导数高考要点回扣1．导数的概念及运算(1)定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(2)几何意义曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝f′(x0)(其中f′(x0)为y＝f(x)在x0处的导数)．(3)求导数的方法①基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)．②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.2．导数的应用(1)求曲线的切线方程利用导数求曲线的切线方程：由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数表示曲线在点P(x0，y0)处的斜率，因此曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．注意：如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.(2)求函数的单调区间利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方面：①f′(x)0是f(x)递增的充分不必要条件(f′(x)0亦是如此)；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据f′(x)0(或f′(x)0)解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明．(3)求可导函数的极值与最值①求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→检验f′(x)在方程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则f(x)在这个根处取极大值；若左负右正，则f(x)在这个根处取极小值)．②求可导函数在[a，b]上的最值的步骤求f(x)在(a，b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和极值的大小．特别提醒若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f′(x)≥0恒成立(但不恒等于0)；若在某区间上单调递减，则在该区间上有f′(x)≤0恒成立(但不恒等于0)．精品回扣练习1．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．22．(2011·大纲全国改编)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．解析∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为(23，23)，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴S＝12×1×23＝13.133．已知函数y＝ax3－15x2＋36x－24在x＝3处有极值，则函数的递减区间为______．解析y′＝3ax2－30x＋36.因为函数在x＝3处有极值，所以y′|x＝3＝27a－90＋36＝0，得a＝2.所以y＝2x3－15x2＋36x－24，y′＝6x2－30x＋36，令y′0，即x2－5x＋60，解得2x3，所以函数的递减区间为(2,3)．(2,3)4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．解析求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.－135．(2009·福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．解析圆周上使弧AM的长度为1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧M1M2的长度为2，B点落在优弧M1M2上就能使劣弧AB的长度小于1，所以劣弧AB的长度小于1的概率为23.((((236．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为___．解析f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6，若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)0⇒x23或x2，f′(x)0⇒23x2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，c＝6.67．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.解析因为f(x)＝3x2＋2xf′(2)，所以f′(x)＝6x＋2f′(2)，于是f′(2)＝12＋2f′(2)，解得f′(2)＝－12，故f′(x)＝6x－24，因此f′(5)＝6.68．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_____________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，得x2＋2ax＋a＋2＝0，Δ＝4a2－4(a＋2)0，∴a2或a－1.a2或a－19．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，则f(x)在区间[0,2]上的最大值f(x)max＝_____________________.解析f′(x)＝3x2－2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a；当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0；当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a，0a≤2，0，2a3.综上所述，f(x)max＝8－4a，a≤2，0，a2.8－4a，a≤2，0，a2.10．已知定义在(0，＋∞)上的三个函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－af(x)，h(x)＝x－ax，且g(x)在x＝1处取得极值．(1)求a的值及函数h(x)的单调区间；(2)求证：当1xe2时，恒有x2＋f(x)2－f(x)成立．(1)解(1)g(x)＝x2－af(x)＝x2－alnx.g′(x)＝2x－ax，g′(1)＝2－a＝0，所以a＝2.而h(x)＝x－2x，h′(x)＝1－1x，令h′(x)＝1－1x0，得x1；令h′(x)＝1－1x0，得0x1.所以函数h(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)证明因为1xe2，故0lnx2，即2－lnx0，欲证x2＋f(x)2－f(x)，只需要证明x[2－f(x)]2＋f(x)，即证明f(x)2(x－1)x＋1，记k(x)＝f(x)－2(x－1)x＋1＝lnx－2(x－1)x＋1，所以k′(x)＝(x－1)2x(x＋1)2.当x1时，k′(x)0，故k(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以k(x)k(1)＝0，则k(x)0，即lnx－2(x－1)x＋10，所以lnx2(x－1)x＋1，故结论成立．返回