高中数学公式定理定律概念大全

1第一章集合与简易逻辑１集合的概念与运算1.1集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{}。（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作；（5）元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；（6）常用数集：自然数集：N；正整数集：*N或N；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。*NNZQR1.2子集（1）定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集；记作：AB，注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ（2）性质：①AAA,；②若CBBA,，则CA；③若ABBA,则A=B；1.3真子集（1）定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：BA；（2）性质：①,AA；②若,ABBC，则AC；1.4补集：（1）定义：记作：},|{AxUxxACU且；（2）性质：AACCUACAACAUUUU）（，，；1.5交集与并集（1）交集：{|,且}ABxxAxB性质：①AAAA,②若BBA，则AB（2）并集：{|,或}ABxxAxB性质：①AAAAA,②若BBA，则BA1.6集合运算中常用结论（1）德摩根公式：();()UUUUUUCABCACBCABCACB.（2）UUABAABBABCBCAUACBUCABR（3）含n个元素的集合的所有子集有n2个22一元二次不等式的解法2.1一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。如：已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为_______（答：{|3}xx）2.2二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系:判别式：△=b2-4ac000二次函数)0()(2acbxaxxf的图象一元二次方程)0(02acbxax的根有两相异实数根)(,2121xxxx有两相等实数根abxx221没有实数根一元二次不等式)0(02acbxax的解集},|{21xxxxx“＞”取两边}2|{abxxR一元二次不等式)0(02acbxax的解集}|{21xxxx“＜”取中间2.4二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（1）不等式32xax的解集是(4,)b，则a=__________（答：18）；（2）若关于x的不等式02cbxax的解集为),(),(nm，其中0nm，则关于x的不等式02abxcx的解集为________（答：),1()1,(nm）；（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：）。2.5常用等价转换x1x2xyOx1=x2xyOxyO3含参数的不等式ax2＋bx＋c0恒成立问题含参不等式ax2＋bx＋c0的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c0是否恒成立)、a≠0（a0且△0）两种情况。３绝对值不等式的解法（1）去绝对值的方法：定义、等价转换、平方（2）当0a时，ax||的解集是{|,或}xxaxa，ax||的解集是}|{axax（3）当0c时，||,或axbcaxbcaxbc，cbaxccbax||注：“＞”取两边，“＜”取中间（4）含两个绝对值的不等式：零点分段讨论法：例：2|12||3|xx（5）绝对值的几何意义：数轴上的距离，例：|1||2|3xx4简易逻辑4.1命题的有关概念（1）命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、且、非；（2）简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题；三种形式：p或q、p且q、非p；（3）判断复合命题真假：（1）思路：①确定复合命题的结构，②判断构成复合命题的简单命题的真假，③利用真值表判断复合命题的真假；（2）真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。如：在下列说法中：①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；③“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；④“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：①③）4.2四种命题（1）命题的四种形式：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p；注意：①互为逆否的两个命题是等价的；②“命题的否定”与“否命题”；“命题的否定”不是简单的否定结论③在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”。（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。（3）充分条件与必要条件：若qp，则p叫q的充分条件；若qp，则p叫q的必要条件；原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q则p否逆为互互否互逆互逆互否互为逆否4若qp，则p叫q的充要条件；（4）利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B①若AB，则p是q成立的充分条件；②若AB，则p是q的充要条件；③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若,且ABBA，则p是q的既不充分也不必要条件。第二章函数1、函数的定义：（1）映射的定义：(2)一一映射的定义：上面是映射的是___（一）（二）__________,是一一映射的是___（二）_____。(3)函数的定义：定义1给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数My与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作MDf:，(1).yx数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y，称为f在点x的函数值，常记为)(xf．)}(),(|{)(MDxxfyyDf称为函数f的值域．(1)中第一式“MD”表示按法则f建立数集D到M的函数关系；第二式“yx”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“)(xfx”．习惯上，我们称此函数关系中的x为自变量，y为因变量．（4）在函数定义中，对每一个Dx，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为单值函数．若同一个x值可以对应多于一个的y值，则称这种函数为多值函数．在本书5范围内，我们只讨论单值函数．2、函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性（在整个定义域内考虑）①定义：②判断方法：Ⅰ.定义法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(xf；d.比较)()(xfxf与或)()(xfxf与的关系。Ⅱ图象法③已知：)()()(xgxfxH若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相同，则在公共定义域内)(xH为偶函数若非零函数)(),(xgxf的奇偶性相反，则在公共定义域内)(xH为奇函数④常用的结论：若)(xf是奇函数，且定义域0，则)1()1(0)0(fff或；若)(xf是偶函数，则)1()1(ff；反之不然。（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）①定义：②证明函数单调性的方法：Ⅰ.定义法步骤：a.设2121,xxAxx且；b.作差)()(21xfxf；（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）c.判断正负号。③求单调区间的方法：a.定义法：b.图象法：c.复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。④一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；c.在公共定义域内增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。d.函数)0,0(baxbaxy在,,abab或上单调递增；在abab，或00,上是单调递减。6（5）函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。3、函数的图象3.1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。3.2、图象的变换（1）平移变换①函数y=f(x+a),(a0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向左个单位得到的移a；②函数y=f(x+a),(a0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向右平个单位得到的移a；③函数y=f(x)+a,(a0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向上平个单位得到的移a；④函数y=f(x)+a,(a0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向下平个单位得到的移a。（2）对称变换①函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线x=0对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线y=0对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=f(x)对于一切,Rx都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x)的图象关于直线ax对称。如果函数y=f(x)对于一切,Rx都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x)的图象关于直线2abx对称。③函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线x=0对称。函数)(xafy与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=2ba对称④)(xfy)(xfy7⑤)(xfy)(xfy⑥)(1xfy与)(xfy关于直线xy对称。（3）伸缩变换①)0(),(axafy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(a或缩短)10(a到原来的a倍。②)0(),(aaxfy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的横坐标伸长)10(a或缩短)1(a到原来的a1倍。4、函数的反函数4.1、求反函数的步骤：①求原函数)(xfy，)(Ax的值域B②把)(xfy看作方程，解出)(yx；③x，y互换的)(xfy的反函数为)(1xfy，)(Bx。4.2、函数与反函数之间的一个有用的结论：abfbaf)()(14.3、原函数)(xfy在区间],[aa上单调递增（减），则一定存在反函数，且反函数)(1xfy也单调递增（减）；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。5、函数、方程与不等式5.1、“实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为“042acb”，你是否注意到必须0a；当a=0时，“方程有解”不能转化为042acb。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？5.2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设21,xx为方程)0(,0)(axf的两个实根。①若,,21mxmx则0)(mf；3120xyx8②当在区间),(nm内有且只有一个实根时，③当在区间),(nm内有且只有两个实根时，④若qxpnxm21时注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。②