2013高考数学(理)二轮专题复习课件：专题1 导数、积分及其应用

1专题一函数与导数专题一函数与导数21．高考考点(1)了解导数、积分的概念；会熟练计算；(2)理解并掌握导数在求单调性、极值、最值、证明不等式及优化问题的应用．2．易错易漏积分计算是易错点，积分的物理应用容易遗漏；利用导数证明不等式是需要加强的部分．3．归纳总结要理解导数与积分运算其实是逆运算；导数应用的本质是为了研究函数的图象，而利用导数证明不等式是单调性及其最值问题的延伸．22323023000kkxxdxxxkkk所1以或【解析】202-30()A.0B.1C.01D.1.kxxdxk若，则等于　　或不确定3209d()999AB.C.?2D.24.4xx　　.30319.44Cdx由积分的几何意义可知，为以为半径的圆的面积的，所以为【解析】选325()()11A()B()3311C[)3.D(]33fxaxxxa如果函数在，上单调递增，则的取值范围为　　．，．，．，．，答案:C4.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是_______【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0可得x=0或2(舍去)，当-1≤x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x≤1时，f′(x)＜0，所以当x=0时，f(x)取得最大值为2.5.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为__________．【解析】易得切线l的斜率为4.因为y′=4x3，所以令4x3=4，则x=1，所以切点为(1,1)，又斜率为k=4，则直线方程为y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0.1.若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度为f′(t)；若物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向由x=a运动到x=8时，变力所做的功为W=F(x)dx.2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.一般情况下定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线x=a，x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．一般的，如果f(x)是在区间[a，b]上有意义的连续函数，F(x)在区间[a，b]上可导，并且F′(x)=f(x)，那么f(x)dx=F′(x)dx=F(b)-F(a)．babababa3.f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0，则f(x)是增函数；若f′(x)＜0，则f(x)是减函数;若f′(x)≡0，则f(x)为常数函数．4.如果函数f(x)在点x0附近有定义，而且对x0附近的点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；对f(x)在点x0附近的点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(x0)．求函数的极值点先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，若这个点的左、右两边的增减性不同，则该点为极值点．一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可导函数的极值点一定导数为0；如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．5．f(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6.复合函数的求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．7.三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)=3ax2+2bx+c的判别式=4b2-12ac0.题型一函数的单调性与极值【例1】已知函数f(x)=lnx+a(x2-x)．(1)若a=-1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；【分析】利用f′(x)=0求出极值点，通过列表确定极大值或极小值；函数单调递减区间的存在，则为f′(x)＜0有解2212-12-.-1-21-(21)(-1)10-11)2(axaxfxaxaaxxxxxxfxxxfxxx当时，，由，所以，或【解析】x(0,1)1(1，+∞)f′(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减所以x=1时，[f(x)]极大值=0，无极小值222-10(0)2-10(0)0,10(2)fxaxaxfxxaxaxaa因为存在单调递减区间，所以＜在，内有解，即＜在，内有解．对分类讨论：若＜不成立，故不存在①单调递减区间；222-80--02202-10,12-10(008)08aaaaaaayaxaxaxaxaa若＞，则函数的图象是开口向上的抛物线且恒过点，要使＜在由于，内有解，则应有即＜或＞，所以＞②＞，；【点评】各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想等都利用二次函数作为载体，导数在解决函数的有关性质问题时，最终也是利用二次函数为载体来解决问题．2202-10,12-10(0)08.ayaxaxaxaxaa若＜，则函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点，＜在，内一定有＜或解．上，＞综③17题型二恒成立问题【分析】函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值，即为过点P(x，y)且与直线x-y+3=0平行的切线到直线的距离；转化为函数F(x)=f(x)-g(x)≤0(x＞0)恒成立求解【例2】设函数f(x)=ax+lnx，g(x)=a2x2.(1)当a=-1时，求函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值；(2)是否存在正实数a，使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 11--ln0-1.1111(())222-3011|-(--ln2)3|2224ln22224ln-01223xfxxxxfxxxfxxPfxydyfxxy由知＞，则令，得，所求距离的最小值即为，到直线的距离．，即函数图象上的点到直线距离的最小值为．【解析】max222max-(0)0.11-2-2-(21)(-1)0000111()ln.ln01.[1,)2aFxfxgxxFxaxaxFxaaxxxaxaxxxFxFxxFxFxFxFaaaaa假设存在实数满足条件，令＞，则由所以当＞时，＜，则为减函数．当＜＜时，＞，则为增函数，所以所以，即所以的取值范围为【点评】对于同一变量恒成立的不等式f(x)≤g(x)，构造新的函数，利用最值的符号求解；对于同一定义域内的两个变量x1，x2，如果有f(x1)≤g(x2)恒成立，则必须满足[f(x)]max≤[g(x)]min.21题型三导数的综合应用217ln0221.1()0(2).23123fxxgxxmxmlfxgxfxlmhxfxgxgxgxhxbabafabfaa已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为求直线的方程及的值；若其中为的导函数，求函数的最大值；当时，求证：【例】113(2)lfxllgxmfabfa由直线与函数的图象相切，且切点的横坐标为求出直线的方程，再由直线与函数的图象相切，求出的值；把不等式转化为函数的最值问题，再利用导【分析】数求解．22111.11,01.1172212190fxfxlfxlyxlygxyxyxmxyxmx因为，所以所以直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为．所以直线的方程为又因为直线与函数的图象相切，所以方程组有且只有一解．由上述方程消去，【解析】并整理得，①242221490420122ln12111.1112.02.,00(0)02mmmmmgxxxgxxhxxxxxhxxxxhxxhhxxx依题意，方程①有两个相等的实数根，所以，解之得或，因为，所以由可知，所以，所以，所以所以当时，，当，时所以当时，取最大值，其最大值为，，25(2)lnln2lnln(1)220010.2221,001,0ln1ln(1)21(2).232fabfaabaabbaaabaababaaxhxhxxxbababfabaaaafa．因为，所以，所以由知当时，，所以当时，，所以，方法：所以26(2)21lnln2.221lnln2)2(022bafabfaababaabFbababaa以其中的一个变量作为自变量，利用导数解决设，方，法：27112222(0)0(0)1(2).lnln20022l2nln22aababFbabaaabaabbaFbFbaaFbaaaFbabaababafabfaaa，因为，，所以，在，内是增函数，，即，即所以，28【点评】对于二次方程在某个区间上有解，应结合二次函数的图形特征，即应满足对称轴的位置、区间端点函数值的符号和判别式的符号来求解；不等式f(x)＞g(x)的证明，构造函数h(x)=f(x)-g(x)，并求其最小值大于零．