1.5.3定积分的概念(张用)

1.5.2定积分的概念求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)近似代替:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(4)取极限：所求曲边梯形的面积S为（3）求和：取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxx==D1()niiSfxx=D(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度△xban-=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--问题：汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt=．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为22vtt=-（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？二、汽车行驶的路程1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]分成n个小区间，在每个小区间上，由于()vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．解：1．分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n-个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn-记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn-=，其长度为11iitnnn-D=-=把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn-上行驶的路程分别记作：1SD，2SD，…，nSD显然，1niiSS==D（2）近似代替当n很大，即tD很小时，在区间1,iinn-上，可以认为函数22vtt=-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in-处的函数值2112iivnn--=-，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,iinn-(1,2,,)in=上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in-处的速度2112iivnn--=-作匀速直线运动即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积iSD近似的代替iSD，则有21112iiiiSSvtnnn--DD=D=-2112(1,2,,)iinnnn-=-=①（3）求和由①得，21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn===--=D=D=-=221111102nnnnnn-----=222311212nn--=3121126nnnn---=11111232nn---从而得到S的近似值11111232nSSnn=---（4）取极限当n趋向于无穷大时，即tD趋向于0时，11111232nSnn=---趋向于S，从而有111limlimnnnniiSSvnn=-==1115lim112323nnn=---=思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线0,1,0ttv===和曲线22vt=-所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程limnnSS=在数据上等于由直线0,1,0ttv===和曲线22vt=-所围成的曲边梯形的面积．思考一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt=，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．结论三、定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx==-D=小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(xi)Dxi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy===baIdxxf)(iinixfD=)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限S=baf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为s=bav(t)dt。定积分的定义：Oab()vvt=tv1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即112001()3Sfxdxxdx===根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S=1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt==-=根据定积分的定义左边图形的面积为baf(x)dx=baf(t)dt=baf(u)du。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）定义中区间的分法和xi的取法是任意的.baf(x)dx=baf(x)dx-(3)定积分的几何意义：Oxyaby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当a=b时，有baf(x)dx=0。当f(x)0时，由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([-==-，dxxfba)(．aby=f(x)y=-f(x)dxxfSba)]([-=baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S当函数f(x)在x[a,b]有正有负时,定积分几何意义badxxf)(321baSSSf(x)dx即-=就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)OXS2S1yS31求下列定积分:(1)-504)dx(2xdxx--1121)3(例题分析:20sinxdx(2)求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。用定积分表示下列阴影部分面积S=______;S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOy2-23y=cosxπ0sindxx----512)54(dxxx--23222coscosππππdxxdxxaby=f(x)Oxy()ygx=探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby=f(x)Oxy1()baSfxdx=()ygx=12()()bbaaSSSfxdxgxdx=-=-2()baSgxdx=定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[ba=babadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kf=badx)x(fk定积分关于积分区间具有可加性=bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.=2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyaby=f(x)Ｃ定积分的基本性质例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12=xfaxxf解：dxxAa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22-=xfxxf解：dxxA221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3=xfbaxf解：dxAba=0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42----=xfxfxxf解：dxxdxxA-----=-]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22=-xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf=--=0)(1222=-=-AAdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-1利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx-212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：0sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx1）．2）.1）．2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例2dxx-1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12==-=xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102=-dxx所以3.024－x2dx的几何意义是什么？提示：是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即024－x2dx＝π.[例1]利用定积分的定义，计算12(3x＋2)dx的值．[研一题][自主解答]令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[n＋i－1n，n＋in](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nf(n＋i－1n)·Δx＝i＝1n[3n＋i－1n＋2]·1n＝i