导数-极值-最值问题

导数在研究函数中的应用知识梳理一函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．二函数极大值、极小值1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值。2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值。3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满足，且在c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c两侧满足“左正右负”，则c是的极大值点，是极大值；如果在c两侧满足“左负右正”，则c是的极小值点，是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值三函数的最大值和最小值在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：（1）求函数ƒ在(a，b)内的极值；)(xfy'f)(x0)(xf'f0)(x)(xf'f0)(x)(xf)(xfy'f)(x0)(xf'f0)(x)(xf'()0fx'()0fxcx),(vu)()(xfcf),(vuxcx)(cfc)(cfcx),(vu)()(xfcf),(vuxcx)(cfc)(cf0)(cfcx0x0)(cf)(xf)(xf)(cf)(xf)(xf)(cf)(xf)(xf)(0xf)(x],[ba)(xf)(x（2）求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；（3）将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函数有极值导函数的判别式03.3.1利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一求函数的单调区间例1已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断解答：y′=(x+)′=1－=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f′(x).，然后解不等式f′(x)＞0，得递增区间，解不等式f′(x)＜0，得递减区间.题型二已知函数的单调性，求参数的取值范围例2.若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．解答：函数求导得，令得或，因为函数在区间内为减函数，所以当时，又因为在函数区间上为增函数，所以当时，，∴，∴．即实数的取值范围[5，7]点评：已知单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题例3：已知函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］，若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；)(x)(x)0(23adcxbxaxycbxaxxf23)(2acb1242x1x121x222)1)(1(1xxxxx2)1)(1(xxxx12)1)(1(xxxx1奎屯王新敞新疆3211()(1)132fxxaxax(1,4)(6,)a'()0fx'()0fx2()1(1)[(1)]fxxaxaxxa()0fx1x1xa(1,4)(1,4)x()0fx(6,)(6,)x()0fx416a57aa21x解:由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.当a=－1时，f′（x）=－2+对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］上为增函数，∴a≥－1.评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.点击双基1.函数y=x+cosx在（-，+）内是（）A增函数B减函数C有增有减D不能确定解：因为=1-sinx0恒成立，故选A2.．函数的单调减区间是（D）A．（B.C．，D.以上都不对。解：（x）=3+20恒成立，不存在单调减区间，故选D3.函数(,则()A．B.C．D.大小关系不能确定解：（x）=-=0时x1,所以(为减区间，又，故选C4.函数的单调增区间是解：（x）=1+2cosx0,所以cosx-;单调增区间为(0,)5.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数，则a的取值范围是解：定义域为（0，，=x+-a0,即ax+在定义域（0，上恒成立，又x+最小值为2,所以a23.3.2函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一函数极值的求法例1已知在与时，都取得极值．(1)求的值；32x31x32x'yaxxxf2)(3)2,),2()0,32('f2xxexxf)()1ba)()(bfaf)()(bfaf)()(bfaf)(),(bfaf'fxxxexee2xex1)1,1ba()52sin((0,))fxxxx'f2132212x)'yx1x1)x132()fxxaxbxc1x23x,ab(2)若，求的单调区间和极值；分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。解：（1）f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设，x＝1，x＝－23为f′(x)＝0的解．－23a＝1－23，b3＝1×(－23)．∴a＝－12，b＝－2．（2）f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，c＝1．∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1．x（－∞，－23）（－23，1）（1，＋∞）f′(x)＋－＋∴f(x)的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）．当x＝－23时，f(x)有极大值，f(－23)＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－12．评析：列表求单调区间和极值不容易出错。题型二例2设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，（1）求的值；（2）求函数的递减区间．分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x轴相切于（0，0）点，可先求出的值。解：（1）函数的图象经过（0，0）点∴c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b∴0=3×02+2a×0+b，得b=0∴y=x3+ax2，=3x2+2ax当时，，当时，当x=时，函数有极小值－4∴，得a=－3（2）=3x2－6x＜0，解得0＜x＜2∴递减区间是（0，2）评析：求出的值后，利用导数就可求出单调区间。备选题3(1)2f()fx0x0)(0xf32()fxxaxbxc0y4,,abc0x,,abc'y'yax320'yax320'ya324)32()32(23aaa'y,,abc例3：已知函数+lnx,求的极值.解;因为f(x)=-,令f(x)=0，则x=注意函数定义域为（0，），所以驻点是x=,当x(0,)时f(x)0,为减函数，当x(，+)时f(x)0,为增函数，所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有（）A．极大值1，极小值-1，B。极小值-2，极大值2C．极大值3，极小值–2，D。极小值-1，极大值3解：=-3+3,令=0得x=-1或x=1，易得x=-1是极小值点，x=1.是极大值点，故选D，2、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是()Am0Bm0Cm0D,m0解：=3+m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x才有极值。所以m0，故选B3、f(x)在区间（a,b）的图像如右Y则f(x)在区间（a,b）内有极大值点（）A2个B。3个C4个D1个aABCDx0b解:A,B,D三点左右导数异号，是极值点，其中A，D是极大值点B是极小值点。注意C不是极值点，故选A4、y=x+的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿解：=1-=0，则x=-2或x=2，x=-2是极大值点,所以极大值为-4，x=2是极小值点，所以极小值为4.5、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；解;，时取极小值,时取极大值，故常数的值为6典例剖析:题型一函数最大值和最小值的求法例1(1)求f（x）＝x3－3x2－9x＋5在[－4，4]上的最大值和最小值．21)(xxf)(xf'323212xxxx'222')(xf2')(xf2)(xf2213'y2x'y3'y2x3'x4'y24x()()2fxxxc=-2xc'22'2()34,(2)8120,2,6fxxcxcfccc或2c6cc(2)求函数在[]上的最大值和最小值．分析：求闭区间上函数最大最小值的方法为：①求出导数为0的点和导数不存在的点，②求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值，③比较它们的大小。解答：(1)f′(x)＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3）令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3∴f（x）在x＝－1处有极大值f（－1）＝10f（x）在x＝3处有极小值f（3）＝－22在区间端点处f（－4）＝－71，f（4）＝－15比较上述结果得：f（x）在[－4，4]上的最大值为f（－1）＝10，最小值为f（－4）＝－71．(2)当时，．由得，．为不存在的点．由于．所以，函数的最大值是最小值是．点评：利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。题型二函数最大值和最小值的综合应用例2．已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.分析：先讨论在区间上的单调性，再求最大值和最小值。解令=0,得若a0,0+0-↗极大↘因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,若a0,同理可得f(0)为最小值,∴f(0)=-11,得b=-11,评析：函数的单调性要借助导数的符号，故要对a的符号进行讨论。备选题32)1()(xxxf21,10x3325)(xxxf0)(xf52x0x)(xf,0)0(,241)21(,2)1(3fff325453)52(f,0)0(f2)1(f32()2fxaxaxb)0(a2,1()fx32()2fxaxaxb2,132'2()2,()34(34)fxaxaxbfxaxaxaxx'()fx1240,2,