应用随机过程第3章习题简答

随机过程_第3章泊松过程习题简答教材P16习题2，4,5,10,11,13,15,17,214.计算泊松过程前三个事件到达时刻S1,S2,S3的联合分布。解：设事件到达的时间间隔为{,0}nXn，则有nX独立同分布于参数为λ的指数分布，进而，123(,,)XXX的联合分布函数为：1233(,,)1231122331(,,){,,}(1)itXXXiFtttPXtXtXte123(,,)XXX的联合密度为：123123()3(,,)123(,,)tttXXXfttte令：11221332tstsstss，则33100|||()|1101011ijtJs故而：1nniiSX，n=1,2,3的联合密度为：31231233123(,,)123(,,)121320(,,)(,,)0sSSSXXXesssfsssfsssssother。5.公交车按速率为λ的泊松过程达到某个车站。某人从车站上车开始估计到家需要时间R，而步行回家的时间是W。它的策略是：到达车站时等待一段时间s，若在此时间内公交车还未到达，则步行回家。（1）计算他到家的平均时间。（2）证明：若W1/λ+R，则（1）的期望时间在s=0时最小；若W1/λ+R，则它在s=∞时最小（即应该继续等车）；而W=1/λ+R时，一切的s值给出相同的期望时间。（3）对为什么只需考虑s=0和s=∞的情形给出一个直观解释。解：将某人到达车站的时刻记为t=0时刻，则第1辆公交车到达的时刻1()SE，依他的策略，他到家的时间111SRSsTsWSs。（1）110()()()()()sSSsETtRftdtsWftdt=(1/)(1/)sWReR。（2）(())dETds(1/)sWRe当W1/λ+R时，(())0dETds，平均到家时间是s的增函数，所以（1）的期望时间在s=0时最小；当W1/λ+R时，(())0dETds，平均到家时间是s的减函数，所以（1）的期望时间在s=∞时最小；而W=1/λ+R时，()ET1/R，即任意s值都给出相同的期望时间。（3）s=0表示不等公交车、直接步行回家，而s=∞则表示无条件等车、一定搭公交车回家。10.设公交车在时刻T发车，而乘客按速率为λ的泊松过程来到车站。证明在发车前所有顾客的总候车时间的平均值是212T。证明：设{(),0}Ntt表示时刻(0,t)内来到车站的乘客人数，则在()NTn的条件下，乘客到达时刻S1,S2,…,Sn的联合密度函数为12123!/0(,,,)0nnnTsssfsssother。恰是区间(0,T)上均匀分布的相互独立的随机变量U1,U2,…,Un的顺序统计量的联合分布，故而有：11()()nniiiiESEU。记()1()NTiiXTS，则X表示发车前所有顾客的总候车时间，其条件期望为：()111(|())[()|()][()]()NTnniiiiiiEXNTnETSNTnETSnTES11()22niiTnTEUnTnnT进而2111()[(|())][()]()(())222EXEEXNTENTTTENTT。11.假设题10中在时刻T前的某个时刻s增加一般汽车，证明如果s=T/2，那么在时刻T前到达车站的所有乘客的平均总等待时间最小。解：由题10，在时刻s前到达车站的乘客的平均总等待时间为212s，在(,]sT之间到达的乘客的平均总等待时间为21()2Ts。故而在时刻T前到达车站的所有乘客的平均总等待时间为：221()(22)2DsTsTs。易证，当s=T/2时，()Ds取得最小值214T。13.设{(),0}Ntt是强度函数为()t的非时齐泊松过程，令*1()(())NtNt，证明*{(),0}Ntt是速率为1的泊松过程。15.求非时齐复合泊松过程在时刻t的期望、在时刻s,t的协方差、特征泛函。解：设{}nY是独立同分布序列，{(),0}Ntt是一个与{}nY独立的强度函数为()t的非时齐泊松过程，则()1()NtkkZtY是强度函数为()t的非时齐泊松过程。首先计算条件期望：11[()|()]()()nkkEZtNtnEYnEY，进而复合泊松过程在时刻t的期望函数：110()(()){[()|()]}(())()()()tZtEZtEEZtNtENtEYEYsds。同理复合泊松过程在时刻s,t的自相关函数：(,)(()()){[()()|()]},()ZRstEZsZtEEZsZtNtst()()()211()1[()]{[()]}{[()]}NsNsNtkkkkkkNsEYEYEY2222111(())()(()())()(())(()())()ENsEYENsNsEYENsENtNsEY2211(())()[(())(())(())]()ENsEYENsENtENsEY进而在时刻s,t的协方差函数：110(,)(,)()()(())()()(),()sZZZZstRststENsVarYVarYudust由于：1()(|())()(())nkkiuYiuZtnYEeNtnEeu所以特征泛函：111()(()1)()()()()0()()[(|())][(())](())!YkmtuiuZtNtkmtZtYYkmtuEEeNtEuueek。其中1()Yu是Y1的特征函数，而m(t)是{(),0}Ntt的均值函数。17.令{(),0}Xtt是一个复合泊松过程，即()1()NtkkXtY。假设Yk只能取有限个可能的值。论证对于总分大的t，()Xt渐进于正态。证明：Yk只能取有限个可能的值，所以其期望与方差存在，写出其特征函数的泰勒展开式，进而由15题，写出()Xt的特征函数，与正态分布的特征函数对比。21.（Yule过程）连续时间马尔科夫链。第3章补充作业1.设{(),0}Ntt是速率为的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与协方差函数。()(())NtENtt，(,)(()()){()((()())()]},()NRstENsNtENsNtNsNsst22[(())(())](())(())(())()()NNENsENsENsENtVarNsst(1)st(,)(,)()(),()NNNNstRststsst2.设{(),0}(1,2,,)iNttin是速率分别为(1,2,,)iin的相互独立的泊松过程。记T为全部n个过程中第1个事件到达的时刻。（1）求T的分布；（2）证明：1{()(),0}niiNtNtt是速率为1nii的泊松分布；（3）计算，当()1Nt时，事件属于过程1{(),0}Ntt的概率。利用特征函数证明（2）（1）T是泊松过程1{()(),0}niiNtNtt的第1个事件到达的时刻，所以它服从参数为1nii的指数分布。（3）11111{()1,()0,2,3,,}{()1,()1}211{()1}{()1}()11{()1|()1}()iinjjnttPNtNtinPNtNtiPNtPNtntnjjjjteePNtNtte。3.设某电话总机在t分钟内接到呼叫的次数{(),0}Xtt是速率为的泊松过程，求：（1）3分钟内接到5次呼叫的概率；（2）3分钟内接到5次呼叫条件下，第5次呼叫在第3分钟到达的概率；（3）3分钟内接到5次呼叫条件下，5次呼唤都在前2分钟内到达的概率；（4）3分钟内接到5次呼叫，且第5次呼叫在第3分钟到达的概率。（1）53(3){(3)5}5!PXe；（3）52553(2){(2)5,(3)(2)0}25!{(2)5|(3)5}()(3){(3)5}35!eePXXXPXXPXe；（2）552{2|(3)5}1{(2)5|(3)5}1()3PTXPXX；（3）44500{2,(3)5}{(2),(3)5}{(2),(3)(2)5}kkPTXPXkXPXkXXk55554230(2)()(32)!(5)!5!kkkeeekk。4.设设{(),0}Ntt是强度函数为()t的非时齐泊松过程，12,,XX是事件之间的间隔时间，问：（1）各间隔时间iX是否相互独立？（2）各间隔时间iX是否同分布？（提示：计算1X与2X的分布）解：（1）记0()()tmtsds，则12,0tt，由于22111211121{|}{()()0|()1}{()()0}PXtXtPNttNtNtPNttNt121[()()]mttmte与X1的取值t1有关，所以各间隔时间iX不是相互独立的。（2）1X的分布为：1()11{}mtPXte，而1121112222211110[()()]()()111100{}{|}()()()XmttmtmtmttPXtPXtXtftdtemtedtemtdt所以2X与1X不同分布。5.某商店上午8时开始营业，从8时到11时顾客平均达到率线性增加，8时顾客平均到达率为5人每小时，11时为20人每小时。从11时到下午1时顾客的平均到达率不变，从下午1时到5时顾客平均到达率线性下降，到下午5时降为12人每小时。设在不同时间间隔内到达的顾客数相互独立。求强度函数()t，并求上午8时至9时无顾客的概率，以及该时段的平均顾客数。解：将上午8时记为0时刻，则强度函数为：5503()203523059xxxxxx上午8时至9时的平均顾客数为：1100(1)()(55)7.5mtdttdt；上午8时至9时无顾客的概率为：(1)7.5mee。6.设{(),0}(1,2)iNtti是速率分别为(1,2)ii的相互独立的两个泊松过程。令12()()()XtNtNt，请回答下列问题，并证明你的结论。（1）{(),0}Xtt是泊松过程吗？（2）{(),0}Xtt是复合泊松过程吗？解：{(),0}Xtt不是泊松过程，因为：12()12122{()1}{()()1}{()0,()1}()0tPXtPNtNtPNtNtte。{(),0}Xtt是复合泊松过程。设随机变量Yn独立同分布于：121212{1},{1},1,2,nnPYPYn且有{,1,2,}nYn与{(),0}(1,2)iNtti相互独立，则：12()()1()NtNtnnXtY是复合泊松过程且有12()()()XtNtNt。