二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32bxaxy（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。070809动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动共同点：⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）1.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。②一个动点速度是参数字母。③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．[解]（1）点(40)A，，点(20)B，，点(08)E，关于原点的对称点分别为(40)D，，(20)C，，(08)F，．设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxca，则16404208abcabcc，，．解得168abc，，．所以所求抛物线的解析式是268yxx．（2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，，，．过点N作NHAD，垂足为H．当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt．根据中心对称的性质OAODOMON，，所以四边形MDNA是平行四边形．所以2ADNSS△．所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt．因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t≤．所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t≤．（3）781444St，（04t≤）．所以74t时，S有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形．所以ODON．所以2222ODONOHNH．所以22420tt．解之得126262tt，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于ABC，，三点，点A的横坐标为1，过点(03)C，的直线334yxt与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H．若5PBt，且01t．（1）确定bc，的值：__________bc，；（2）写出点BQP，，的坐标（其中QP，用含t的式子表示）：(______)(______)(______)BQP，，，，，；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB△为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．[解]（1）94b3c（2）(40)B，(40)Qt，(443)Ptt，yCAOQHBPx（3）存在t的值，有以下三种情况①当PQPB时PHOB，则GHHB4444ttt13t②当PBQB时得445tt49t③当PQQB时，如图解法一：过Q作QDBP，又PQQB则522BPBDt又BDQBOC△∽△BDBQBOBC544245tt3257t解法二：作RtOBC△斜边中线OE则522BCOEBEBE，，此时OEBPQB△∽△BEOBBQPB542445tt3257t解法三：在RtPHQ△中有222QHPHPQ222(84)(3)(44)tttCOPQDBCOPQEBCOPQHB257320tt32057tt，（舍去）又01t当13t或49或3257时，PQB△为等腰三角形．解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的01t矛盾，应舍去3.如图1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点．（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．[解]（1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy(63)(42)AB，，，（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图1）由（1）可知：3525OAOByxOyxOPA图2图1BBAyxOCBＥ55AB1522OMABOB过B作BEx⊥轴，E为垂足由BEOOCM△∽△，得：54OCOMOCOBOE，，同理：55500242ODCD，，，，设CD的解析式为(0)ykxbk52045522kkbbbAB的垂直平分线的解析式为：522yx．（3）若存在点P使APB△的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2）．212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH，，，2554GHyxOPA图2HGB设O到GH的距离为d，112212551252524224552GHdOGOHddABGH，∥P到AB的距离等于O到GH的距离d．另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C（x,）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图①，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为01084，，，，顶点CD，在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点40E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在AB边上运动时，OPQ△的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求PQ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）若点PQ，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使90OPQ∠的点P有个．（抛物线20yaxbxca的顶点坐标是2424bacbaa，．[解]（1）作BFy轴于F．01084AB，，，，86FBFA，．10AB．（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．又1010101AB，．PQ，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBF∥．GAAPFAAB，即610GAt．35GAt．3105OGt．