等差数列知识点整理与经典例题解

等差数列复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。如(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）3、等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。如（1）数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝＿，n＝＿（答：13a，10n）；（2）已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.4、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）5、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.如（1）等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n＝____（答：27）；(4)若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇－；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；1-n:nS偶奇：S。如（1）在等差数列中，S11＝22，则6a＝______（答：2）；※（2）项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.※（6）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________（答：6287nn）(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是（答：4006）※（3）在等差数列na中，10110,0aa，且1110||aa，nS是其前n项和，则（）A、1210,SSS都小于0，1112,SS都大于0B、1219,SSS都小于0，2021,SS都大于0C、125,SSS都小于0，67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0，2122,SS都大于0（答：B）※(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.