北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)

北京市东城区2020届第一学期末统一检测高三数学2020.1本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合{|1}Axx≤，{|210}Bxxx，那么AB(A){|12}xx(B){|11}xx≤(C){|12}xx≤(D){|11}xx≤(2)复数z=i(i1)在复平面内对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)，上单调递增的为(A)1yx(B)lnyx(C)2xy(D)1yx(4)设,ab为实数，则“0ab”是“ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)设,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，则下列结论中正确的是(A)若m，mn，则n∥(B)若，m，n，则mn(C)若n∥，mn，则m(D)若∥，m，n，则mn∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为(A)7(B)9(C)10(D)13(7)设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2，则sinsin2(B)若2，则coscos2(C)若2，则sinsin1(D)若2，则coscos1(8)用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124OO，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是(A)①(B)②③(C)①②(D)①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)若双曲线221xym与22132xy有相同的焦点，则实数m.(10)已知{na}是各项均为正的等比数列，nS为其前项和，若16a，2326aa，则公比q____，4=S____．(11)能说明“直线0xym与圆22420xyxy有两个不同的交点”是真命题的一个m的值为.(12)在平行四边形ABCD中，已知uuuruuuruuuruuurABACACAD，4ACuuur，2BDuuur，则四边形ABCD的面积是____．(13)已知函数()2sin()(0)fxx，.曲线()yfx与直线3y相交，若存在相邻两个交点间的距离为6，则的所有可能值为_____.(14)将初始温度为0C的物体放在室温恒定为30C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为nt，已知10Ct.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为；(填写模型对应的序号）①130nnnkttt；②1(30)nnnttkt；③+1=(30)nntkt.在上述模型下，设物体温度从5C上升到10C所需时间为mina，从10C上升到15C所需时间为minb，从15C上升到20C所需时间为minC，那么ab与bc的大小关系是.(用“”，“”或“”号填空）n三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题13分）在△ABC中，已知sin3cos0cAaC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若=223bc，，求△ABC的面积.(16)（本小题13分）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至209年12月270人中期跟随用户2020年1月至20121年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).（I）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（III）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.(17)（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，ABBC，12AAABBC．（Ⅰ）求证：1BC平面11ABC；（Ⅱ）求异面直线1BC与1AB所成角的大小；（Ⅲ）点M在线段1BC上，且11((0,1))BMBC，点N在线段1AB上，若MN∥平面11AACC，求11ANAB的值(用含的代数式表示)．(18)（本小题13分）已知函数321()3()3fxxxaxaR.（Ⅰ）若()fx在1x时，有极值，求a的值；（Ⅱ）在直线1x上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线()yfx相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.(19)（本小题14分）已知椭圆222:1xCya1a的离心率是22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，过2F作斜率为k的直线l，交椭圆C于,AB两点，直线11,FAFB分别交y轴于不同的两点,MN.如果1MFN为锐角，求k的取值范围．(20)（本小题13分）已知数列na，记集合1(,)(,),1,,iijTSijSijaaaijijN≤L．（Ⅰ）对于数列na：1234，，，，写出集合T；（Ⅱ）若2nan，是否存在,ijN，使得(,)1024Sij？若存在，求出一组符合条件的,ij；若不存在，说明理由；（III）若22nan，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:mBbbb，，，，LL.若2020mb，求m的最大值．北京市东城区2020届第一学期末统一检测高三数学参考答案及评分标准2020.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）C（3）B（4）A（5）B（6）C（7）A（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4（10）14524（11）0（答案不唯一）（12）4（13）2或10（14）②三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得sinsin3cossin=0CACA.因为sin0A，所以tan3.C又因为0C,所以2π=3C....................................................................................................7分（Ⅱ）由正弦定理得32sin12sin=223bCBc,又因为03B，所以ππ,66BABC.所以△ABC的面积111sin2233222SbcA.................................................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.810001000...............................3分（II）由题意X的所有可能值为0,1,2.记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件，AB相互独立，且()140%0.6PA，()145%0.55PB，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18PX=PAB，(1)()()()()(1())(1()()0.610.5510.6)0.550.49PXPAB+ABPABPABPAPBPAPB（）（，()()0.60.550.33.PX=2PAB所以X的分布列为X012P0.180.490.33故X的数学期望00.1810.4920.331.15（）EX.……………10分（III）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么327031000()0.02.CPDC回答一：事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.……………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC中，由于1BB平面ABC，所以1BB平面111ABC．又1BB平面11BBCC，所以平面11BBCC平面111ABC，交线为11BC.又因为ABBC，所以1111ABBC．所以11AB平面11BBCC．因为1BC平面11BBCC，所以111.ABBC又因为12BBBC，所以11BCBC．又11AB11BCB,所以1BC平面11ABC．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1BB底面ABC，ABBC．如图建立空间直角坐标系Bxyz．由题意得(0,0,0)B，(2,0,0)C，1(0,2,2)A，1(0,0,2)B．所以1(2,0,2)BCuuur，1(0,2,2)ABuuur．所以1111111cos,2||||ABBCABBCBABCuuuruuuruuuruuuruuuruuur．故异面直线1BC与1AB所成角的大小为3．…………9分（Ⅲ）易知平面11AACC的一个法向量为(1,1,0)n，由11BMBC，得(2,0,22).M设11ANAB，得(0,22,22)N，则(2,22,22)MN因为//MN平面11AACC，所以0MNn，即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1．所以111ANAB．…………14分（18）（共13分）解：(Ⅰ)因为321()33fxxxax，所以223fxxxa.由()fx在1x时，有极值得11230fa，解得1a.经检验，1a时，()fx有极值.综上，1a.……………4分（Ⅱ）不妨设在直线1x上存在一点(1,)Pb，设过点P与()yfx相切的直线为l，切点为00(,)xy，则切线l方程为32200000013(23)()3yxxaxxxaxx.又直线l过(1,)Pb，有32200000013(23)(1)3bxxaxxxax，即3200022+2303xxxab.设322()2233gxxxxab，22'()2422(1)0gxxxx