经典奥数时钟问题

四、时钟问题解法与算法公式解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。解：（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。解：（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）即2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝。2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。解：5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。公务员考试行测辅导：时钟问题经典例题详解2009-3-318:47:00来源：环球网校频道：国家公务员时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】1.十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？()A.10时21分B.10时22分C.10时21D.10时21分2现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？【参考答案详解】1.答案A满足.分针：6度/分时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x=分，即10时分两针成直线。答案A满足。2.现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：6度/分时针0.5度/分3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90度，用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16分钟，所以下午3点16分钟，时针和分针第一次重合。3.分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24×60=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次4.钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6度/分时针0.5度/分5点零8分，时针成角：5×30+8×0.5=154度，分针成角：8×6=48度，所以夹角是154-48=106度。5在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比时针多走(20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5分，(20+15)/(1-1/12)=38分，即4点38分。6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过X分，0.5×X=270-6×X,解得X=540/13分，所以答案是9点过41分。行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网时间:2010-01-08|公务员考试论坛|来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。【例1】（山西2009-108）清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A.30度B.60度C.90度D.150度［答案］D［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。【例2】（广东2002-98）中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A.10B.11C.12D.13［答案］B［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。因此，时针与分针重合了11次。选择B。［解二］根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】（江西2008-38）小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（）#中国公务员考试信息网A.51B.47C.45D.43［答案］A［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约合1小时51分。【例4】（国家2000-30）某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A.10点15分B.10点19分C.10点20分D.10点25分［答案］A［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。公务员考试网【例5】（四川2008-12）从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟［答案］