2020年中考数学-冲刺专题-难点突破之几何探究题

2020中考数学冲刺专题难点突破之几何探究题（含答案）1.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________．②BC，CD，CF之间的数量关系为：________(将结论直接写在横线上)．(2)数学思考如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝22，CD＝14BC，请求出GE的长．第1题图解：(1)①BC⊥CF；②BC＝CD＋CF；【解法提示】①∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF；②∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BC＝CD＋BD，∴BC＝CD＋CF.(2)结论①仍然成立，②不成立，①证明：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABD＝180°－45°＝135°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF；②结论为：BC＝CD－CF，证明：∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF；第1题解图(3)如解图，过点E作EM⊥CF于点M，作EN⊥BD于点N，过点A作AH⊥BD于点H，则CN＝ME，CM＝EN，∵AB＝AC＝22，∴BC＝4，AH＝12BC＝2，∵CD＝14BC，∴CD＝1，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，∴∠ABC＝∠AGC＝45°，∴BC＝CG＝4，∵∠ADE＝90°，∴∠ADH＋∠EDN＝∠EDN＋∠DEN＝90°，∴∠ADH＝∠DEN，又∵∠AHC＝∠DNE＝90°，AD＝DE，∴△AHD≌△DNE(AAS)，∴DN＝AH＝2，EN＝DH＝3，∴CM＝EN＝3，ME＝CN＝3，则GM＝CG－CM＝4－3＝1，∴EG＝EM2＋GM2＝10.2.如图①，②，③，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC；(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程；(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝_____(填写度数)；(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为______(用含n的式子表示)．第2题图(1)证明：∵△ABD，△ACE是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ABE和△ADC中，∵AB＝AD∠BAE＝∠DACAE＝AC，∴△ABE≌△ADC(SAS)；第2题解图①(2)解：如解图①，AD，BE交于点K，则∠OKD＝∠AKB，又由(1)知△ABE≌△ADC，∴∠ODK＝∠KBA，∴△OKD∽△AKB，∴∠DOK＝∠BAK＝90°，又∵∠BOC＋∠DOK＝180°，∴∠BOC＝180°－90°＝90°；第7题解图②(3)解：72°；【解法提示】如解图②，AD，EB交于点K，由(1)得△ABE≌△ADC，∴∠EBA＝∠CDA，∵∠OKD＝∠AKB，∴△OKD∽△AKB，∴∠DOK＝∠BAK＝180°×（5－2）5＝108°，又∵∠BOC＋∠DOK＝180°，∴∠BOC＝180°－108°＝72°；(4)解：180°－180°·（n－2）n.【解法提示】如解图③，AD，BE交于点K，第2题解图③∴∠DOK＋∠BOC＝180°，又由(1)知△ABE≌△ADC，∴∠EBA＝∠CDA，∴△OKD∽△AKB，∴∠DOK＝∠BAK＝180°×（n－2）n，又∵∠BOC＋∠DOK＝180°，∴∠BOC＝180°－∠DOK＝180°－180°×（n－2）n.3.如图①，△ABC中，∠B∠C，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况，情形一：如图②，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AD折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现(1)△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？________(填“是”或“不是”)(2)经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C之间的等量关系，并说明理由；根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C之间的等量关系为________；应用提升(3)一个三角形三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是5°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．第3题图解：(1)是；【解法提示】理由如下：情形二中，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B＝∠AA1B1;又∵将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C＝∠C，∵∠AA1B1＝∠C＋∠A1B1C(外角定理)，∴∠B＝2∠C.(2)∠B＝3∠C；证明如下：在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将其余下的部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角；根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C；根据四边形外角定理知，∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1B1C＝∠BAC＋2∠B－2∠C＝180°，根据△ABC的内角和定理知，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝3∠C；∴∠B＝n∠C.【解法提示】由情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由上述知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C之间的等量关系为∠B＝n∠C；(3)由(2)知，∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∵最小角是5°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为5m°，5mn°(其中m、n为正整数)．由题意得5m＋5mn＋5＝180，∴m(n＋1)＝35，∵m，n都是正整数，∴m与n＋1是35的因数，因此有：m＝1，n＋1＝35；m＝5，n＋1＝7；m＝7，n＋1＝5；∴m＝1，n＝34；m＝5，n＝6；m＝7，n＝4，∴5m＝5，5mn＝170；5m＝25；5mn＝150；5m＝35，5mn＝140.∴该三角形的另外两个角的度数分别为：5°，170°或25°，150°或35°，140°.4.定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．如图①中，四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.(1)探究：小明对“垂直四边形”ABCD(如图①)进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即AB2＋CD2＝AD2＋BC2，你认为他的发现正确吗？试说明理由．(2)应用：①如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0t1)，连接CP，BQ，PQ.当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．②如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG.请求出线段EG与BC之间的数量关系．第4题图解：(1)正确，理由如下：∵四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD，由勾股定理可知：AB2＋CD2＝(AO2＋BO2)＋(DO2＋CO2)，AD2＋BC2＝(AO2＋DO2)＋(BO2＋CO2)，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2；第4题解图①(2)①如解图①，过点P作PD⊥AC于点D，由题意知，AP＝5t，CQ＝6t，∵∠ACB＝90°，∴AB＝62＋82＝10，∵PD∥BC，∴△PAD∽△BAC，∴ADAC＝PDBC＝APAB，∴AD6＝PD8＝5t10，∴AD＝3t，PD＝4t，∴DQ＝AC－AD－CQ＝6－9t，∵四边形BCQP是“垂直四边形”，∴由(1)可得：BP2＋CQ2＝PQ2＋BC2＝(PD2＋DQ2)＋BC2，∴(10－5t)2＋(6t)2＝(4t)2＋(6－9t)2＋82，∴解得t＝29或t＝0(舍去)．∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为29；第4题解图②②如解图②，连接CG、BG、BE、CE，CE与BG交于点O，由题意知：EA＝BA，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAG＋∠BAC，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC与△BAG中，EA＝BA∠EAC＝∠BAGAC＝AG，∴△EAC≌△BAG(SAS)，∴∠CEA＝∠GBA，∴∠BEA＋∠EBA＝∠BEO＋∠EBO＝90°，∴∠EAB＝∠BOE＝90°，∴四边形BCGE是“垂直四边形”，∴BC2＋EG2＝BE2＋CG2，∵AB＝3AC，∴EG2＝32BC2.5.数学课上，老师和同学们对相似三角形的判定和性质进行了如下探究：活动一：(1)如图①，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上)，再在△A1B1C内用同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…，如此下去，操作n次，则第1个内接正方形的边长是______，第n个小正方形AnBnDnEn的边长是________；活动二：(2)如图②，在△ABC中，BC＝12，高AD＝8，四边形PQMN为△ABC的内接矩形(P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上)．①求当PQ为何值时，矩形PQMN的面积最大；②在①的条件下，若再在△APQ中作一个内接矩形P1Q1M1N1，如此下去，操作n次，求PnQn的长．(直接写出结果)思考与归纳：(3)解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条．第5题图解：(1)1，13n－1；【解法提示】∵∠A＝∠B＝45°，∴AE1＝A1E1＝A1B1＝B1D1＝D1B＝D1E1，∴第1个内接正方形的边长＝13AB＝1.同理：第2个内接正方形的边长＝13A1B1＝19AB＝13，第3个内接正方形的边长＝13A2B2＝127AB＝19，…故可推出第n个小正方形AnBnDnEn的边长＝13nAB＝13n－1.(2)①设PQ＝x，矩形PQMN的面积为y，AD与PQ交于点E，第5题解图∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴A