最新-重积分——重积分的概念与性质-PPT文档资料

18.1重积分的概念与性质28.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的。首先考虑一根长度为l的细直杆的质量。不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线密度为()x010()lim()(1)lniimxdxxi11,maxiiiiinxxxx其中3如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为=(x,y)≠常数。这里(x,y)0且在D上连续。yxo),(iii01lim(,)(2)niiimiiin其中也表示小闭区域的面积,是个小闭区域直径中的最大值。4如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，其体密度函数为=(x,y,z)≠常数,则其质量可表示为01lim(,,)(3)niiiimviiivvn其中也表示分割区域所得各个小闭区域的体积,是个小闭区域直径中的最大值。5定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将区域D任意分割成n个小区域12,,,nii其中表示第个小闭区域,也表示它的面积。1,)(1,2,,),(,)(1,2,,),(,)iiniiiiiinfinfiii任取点(作积并求和。如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作01(,)lim(,)niiiDfxydfi(,),Dfxyd即6积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素niiiiDfdyxf10),(lim),(被积函数由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分01(,)lim(,)niiiDmxydi7定义8.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域123,,,,niiiiv用表示各中直径的最大值,(或)表示的体积(或面积)。=1=1(1,2,,),()(1,2,,),Σ()Σ())iiinniiiiiiXinfXvinfXVfXi任取点作积并作和(或8如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为()fXdX其中f(X)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(X)在上可积。特别地，当n=2时函数f(X)=f(x,y)(x,y)D，()(,)DfXdXfxyd即为函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素。9当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，()(,,)fXdXfxyzdv即为函数f(x,y,z)在上的三重积分，dv称为体积元素。有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即01(,,)lim(,,)niiiimxyzdvvi可以证明定理8.1.1(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。108.1.2重积分的性质我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。(1)1DDdd(2)(关于被积函数的线性可加性）若、为常数，则[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd表示D的面积11(3)（关于积分区域的可加性）1212,DDDDD若且与无公共内点，则12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),则(,)(,)DDfxydgxyd特别地，有(,)(,)DDfxydfxyd12(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，则(,)DmfxydM(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，表示D的面积，则至少存在一点(,)，使(,)(,)Dfxydf下面仅给出结论(5)、(6)的证明。1322112,ln()1xyxyd不用计算判断二重积分例的符号。2121:D先作出积分区域解xyo1:1,2Dxy在积分区域上22,1,xy除四个顶点外全部落在圆周之内112xy因而在区域上有22ln()0xy。:于是有22112ln()0xyxyd。1423)2(()DDxydxyd比较与例的大小。(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；(2)D2：(x2)2+(y1)22解(1)因为在区域D1上1123)()(DDdyxdyx。0x+y1，(x+y)3(x+y)2根据性质5，得xyo11152232)()(DDdyxdyx。2(2)(2,1),2D因为区域是以为圆心以为半径的圆域12xyo从图形易知在D上除切点外，处处有x+y1(x+y)2(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)22该圆域与直线x+y=1相切。16例3利用二重积分的性质，估计积分的值。1:,)14(2222yxDdyxD解,cos,sin(02),Dxy在的边界上12222]14[),(yxyxyxf因为fx=2x，fy=8y，所以有驻点(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。2sin321sin4cos22)(xyof(0,0)=1。17显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。。Ddyx5)14(22于是f(x,y)在D上的最小值为1，最大值为5，积分区域的面积为。所以有xyo2(,)23sinfxy)(188.2二重积分的计算法利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。198.2.1利用直角坐标计算二重积分设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？xzyoD),(yxfz1、曲顶柱体的体积------二重积分的几何意义20xzyo),(yxfzD(1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,…,n，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。21xzyoD),(yxfz(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体i),(iiiiiifV),(22(3)作和式(4)取极限nniiiidddfV,,,max(,),(lim2110niiiifV1),(xzyo),(yxfzD曲顶柱体的体积DdyxfV),(由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。231例解222DRxyd3222,23,DRRxydDR利用二重积分的几何意义说明等式。其中是以原点为中心半径为的圆域。222DRxyd积分等于222,,,xoyRRzRxy在面上以原点为中心半径为的圆域为底以为半径的上半球面为曲顶的半球体的体积即31423R。323R242.区域的不等式组表示(举例)例下列不等式组各表示什么区域220(1)10yxyx221(1')1122xyxx1(2)01xyx22220(3)1zxyxy22221(4)1xyzxy01(2')01yx25例下列图形怎么用不等式（组）表示263、二重积分的计算法用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。bxaxyxD),()(:21(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。［X－型］oabxyD)(2xy)(1xyoabxy)(2xy)(1xyD27)(0xA)(2xyoax0bxyz),(yxfz)(1xy在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。)()(000201),()(xxdyyxfxA这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[1(x0),2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：先计算截面面积。28一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：。)()(21),()(xxdyyxfxA于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为badxxAV)(这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式)1(]),([),()()(21baxxDdxdyyxfdyxfbaxxdxdyyxf]),([)()(21)(2xyoaxbxyz()Ax),(yxfz)(1xy29上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。baxxdyyxfdx)()(21),(。即)1(),(),()()(21baxxDdyyxfdxdyxf就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到2(x)的定积分；再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作30(2)D如果积分区域可以用不等式［Y－型］dycyxy),()(21来表示Dyoxdc)(1yxyoxdc)(1yx)(2yx)(2yxD31计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，在区间1(y)x2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间cyd上对y积分,。这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。Ddyxf),(21()()(,)(2)dycydyfxydxdcyydydxyxf)()(21]),([3221()()(,)(,)(1)bxaxDfxyddxfxydy应用公式(1)时，积分区域必须是X型区域。21()()(,)(,)(2)dycyDfxyddyfxydx应用公式(2)时，积分区域必须是Y型区域。X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。33若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。yox若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。2211()()()()(,)(,)bxdyaxcydxfxydydyfxydx这表明二次积分可以交换积分次序。123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydfxydfxydfxyd344二重积分计算的