高等量子力学-第四章-表象理论

§4表象理论§4-1矢量和算符的矩阵表示§4-2表象变换§4-3若干矩阵计算§4-4连续本征值情况§4-1矢量和算符的矩阵表示在前面我们一直用符号和表示矢量，用符号A和B表示算符，用A一类的公式表示算符与矢量之间的关系，这种表示方法虽然简洁明确，适于理论推导，但是不够具体。在这一节里我们主要讨论如何用一组数字来具体地表示矢量和算符。这种方法与在物理空间中取一组直角坐标系，把各点的位置矢量用三个数字),,(zyx表示出来类似。K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用它们的共同本征矢量作为基矢：ikiKi完备性关系：iii1一、矢量的矩阵表示iiiiiiii,jjjjiiiijjjjiiiinn2121,右矢对应于一列矩阵：(4.1)iiiiiiiiiiiiiiii****,,将左矢对应一行矩阵：**2*1**2*1,nn(4.2)二、内积的矩阵表示iiiiii*nn21**2*1三、算符的矩阵表示AiiiAjjiijijA算符对应于方矩阵：iAjAjinnnnnnAAAAAAAAAA212222111211nnnnnnnnAAAAAAAAAA2121222211121121四、公式的矩阵表示：(4.3)(4.4)nnnnnnnnAAAAAAAAAA212222111211**2*1**2*1(4.5)对于两个算符的乘积，ABC，用完全性关系，有iBkkAjiCjk于是有nnnnnnnnnnnnnnnnnnBBBBBBBBBAAAAAAAAACCCCCCCCC212222111211212222111211212222111211kkijkjiBAC即nnnnnnnncccacccAAAAAAAAA2121212222111211本征值方程：aaaA移项，得021212222111211nnnnnnncccaAAAAaAAAAaA0212222111211aAAAAaAAAAaAnnnnnn久期方程：naaa,,,21解久期方程得本征值：代入本征方程可得本征矢量：nicccainiii,,2,1,21§4-2表象变换设有两个表象，K表象的基是}{i，L表象的基是}{，两组基的完全性关系：1,1iii（4.7）两组基之间的关系是iiiiiiUiiiiUU1,（4.8）（4.9）（4.10）式中iiijjiUUUU11（4.11）显然1iiiUiiiUU1设矢量在K表象和L表象中的矩阵表示分别为，,iiiiiiii（4.12）（4.13）（4.14）即表象变换就是由已知一组i求或反过来由已知一组求i的过程。设已知一组i，则iii即iiiU1（4.15）1、矢量的表象变换或写成矩阵形式：iiU1iiiU1（4.16）同样，相反的关系是iiU（4.17）（4.15）和（4.17）两式就是矢量的表象变换。设算符A在K与L表象中的矩阵分别为)(ijA和)(A：2、算符的表象变换AAAAiiij,jjiijiAAijjijiUAUA1右边是三个矩阵相乘，相反的关系是（4.18）、（4.19）式就是算符的表象变换。于是即（4.18）（4.19），jiijAA1jiijUAUA容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不改变二矢量内积以及A的数值。§4-3若干矩阵运算1、矩阵的迹：iiiAtrA迹的重要性质是)()(BAtrABtr(4.20)(4.21)2、矩阵的行列式nNCbanabcAAAAA321NncbanabcAAAA321detN是矩阵的阶，式中nabc的定义是其他情况，的奇置换是若，的偶置换是若，012311231NnabcNnabcnabc(4.22)矩阵的行列式的最重要的性质是BAABdetdet)det(证明：nNbanabcnabcABABABAB)()()(21）（BABBBBBBABBBAAABABABANnbancbancbaNnbancbancbaNnbancbannbbaanabcnabcNnnnbbbaaaanabcnabcdetdetdet)det()('''''''''''''''''''''''''''''''''''''''21212111BABBBAncbaNnbancbadetdetdet21detnnnabbbanabcaaaanabcBABABA2213、矩阵的相似变换方矩阵A用幺正矩阵U所作的如下变换：AUUA1称为相似变换，有两个矩阵A和B，若有幺正矩阵U存在，使AUUB1，则称为A和B二矩阵相似。算符的表象变换就是一种相似变换。注意，在数学上相似矩阵的定义扩大到U为有逆矩阵（即非奇异矩阵,0detU）的情况。相似矩阵的性质有：若A和B二矩阵相似，则trBtrABAdetdet我们定义:一个算符的迹和行列式为在任何表象中的矩阵的迹和行列式，因为后者的值在表象变换下是不变的。(4.25)(4.26)定理：任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际上是幺正变换）成为对角矩阵。证明：我们采取直接把变换矩阵给出来的证法。设在n维空间中取定一个表象后，厄米矩阵A便成为某一厄米算符A的表示矩阵，而算符A肯定有n个相互正交的归一化的本征矢量),,,2,1(nii写成一列矩阵形式为)(21)2(22212)1(12111,,,nnnnnnn）（）（）（）（）（）（）（）（）（（4.27）式中)(ij是第i个本征矢量的第j个分量，现在，用这些分量构造一个幺正矩阵U，取)(ijjiU，即)(ijjiU）（）（）（）（）（）（）（）（）（nnnnnnU212221212111（4.28）这个幺正矩阵U就可以把厄米矩阵A对角化。首先证明U是幺正矩阵。由于)(ij彼此正交，ijkjkikji)()*()()(ijjkkikkkjkikkjikijUUUUUU)()*(*)(）（所以证明了1UU，同样也有1UU，所以U是幺正的，UU1。其次证明厄米矩阵A经过U的幺正变换后确是对角矩阵。但是，）（j是A的本征矢量，)()(jjjaA，写成矩阵形式即)()(jkjljlklaA于是，上式成为ijjkjkjikijaaA)()*('证明变换后的矩阵AUUA1'是一个对角阵，其对角元即是A的本征值。而本征值ja若是m重简并时，则ja在对角元中出现m次。定理证毕。kljlklikklljklkiklljklikijijAUAUUAUAUUA)(*)(*1)(§4-4连续本征值情况设在无穷维空间中取K表象，而厄米算符（或对易的厄米算符完备组）K具有在某一区间内的连续本征值谱。kkkK完全性关系：1kdkk(4.30)空间中的任意矢量和，都能表为这一组基矢}{k的叠加：dkkkkdkk)(dkkkkdkk)((4.31)(4.32)式中)(k和)(k仍称为矢量和在基矢k上的分量，这时他们是k的连续的复函数。两个矢量的内积可以用函数形式表出：dkkkkdkk)()(*(4.33)算符A作用于上得出A'''kdkkAkk''')(),()(dkkkkAk可见，算符A在K表象中是变量k和'k的双变量函数，它对于)(k的作用是先把中的变量k换为'k，然后用),('kkA相乘并对'k积分，得到的k的函数就是)(k。(4.34)K表象：连续表象中的函数)(k可理解为下标连续改变的一列矩阵，而把),(kkA看成下标连续改变的方矩阵：kkk)(***)(kkk''),('kkkkAAkkA而所有的运算都是矩阵的乘法，对于连续表象，原来对i的取和改变为对k的积分。这样，就把离散表象和连续表象的记法作到了完全的一一对应。今后为了书写方便我们进一步约定：认为i和)(k两种写法是完全无区别的而任意使用，在连续表象中可以写i而把i理解为连续变化的k，在离散变换中也可以写)(k，那时就将其理解为k而将k理解为离散的下标。