高考数学解析几何专题复习

专题复习讲座（四）--------解析几何俗话说：“知己知彼，才能百战百胜”，这一策略，同样可以用于高考复习之中。我们不仅要不断研究教学大纲、考试说明和教材，而且还必须研究历年高考试题，从中寻找规律，这样才有可能以不变应万变，才有可能在高考中取得优异成绩。纵观近几年的高考解析几何试题，可以发现有这样的规律：小题灵活，大题稳定。一、解决解析几何问题的几条原则1．重视“数形结合”的数学思想2．注重平面几何的知识的应用3．突出圆锥曲线定义的作用二、解析几何中的一类重要问题直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。弦长问题：|AB|=]4))[(k1(212212xxxx。弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。三、高考解析几何解答题的类型与解决策略Ⅰ.求曲线的方程1．曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例1：已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（12,11222kkkk），B/（1)1(8,116222kkkk）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251,p=552.所以直线L的方程为：y=251x,抛物线C的方程为y2=554x.例2：在面积为1的△PMN中，tanM=21,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。1315422yx2．曲线的形状未知-----求轨迹方程例3:已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。例4：给出定点A（a,0）(a0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。MODNxPyMNQOOAxBC分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以axaxaxbybbxyy0)(1||||2y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；若y=0，则b=0,∠AOB=180º,点C的坐标为（0，0），也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤xa)。当a=1时，方程表示抛物线弧；当0a1时，方程表示椭圆弧；当a1时，方程表示双曲线一支的弧。一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。例5：已知椭圆1162422yx和直线L:1812yx，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ||OP|=|OR|2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR),则22222222223248,3248116243224,32241812yxyyyxxxxyxyyxyxyyyxxxxyxyyxRRRRRRPPPPPP，代入222222RRPPyxyxyx，得：52(x-1)2+53(y-1)2=1.注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子222222RRPPyxyxyx可用|x||xP|=|xR2|代替，这样就简单多了。Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题1．有关最值问题例6:设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率e=23，已知点P（0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为12222byax，则由e=23得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:|PQ|=22)23(yx=49433)23(4422222byyyyb(-byb).若b21，则-21-b,当y=-b时|PQ|max=749349433222bbbbb.解得：b=7-2321与b21矛盾；若b21，则当y=-21时|PQ|max=7342b,解得:b=1,a=2.2．有关范围问题例7（2001春季高考题）已知抛物线y2=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则221212)(204)(4axxpaxxapa,又y1=x1-a,y2=x2-a,,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221pappapppABappxxxxyyxxAB解得:.42pap(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：paxxx2213,.2)()(221213paxaxyyy所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P2，所以S△NAB=22222||22||||21pppABpQNAB,即△NAB面积的最大值为P22。例8：已知椭圆)0(12222babyax，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：abaxaba22022.分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B在椭圆上，所以，22222222122221,xabbyxabby，从而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得：abaxaba22022例9(2000年高考题)已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足ECAE，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意，记A(-C,0)，C(,2Ch)，E(x0,y0),其中c=||21AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由ECAE,即(x0+c,y0)=(2c-x0,h-y0)得:x0=1)1(2)2(0hyc.设双曲线的方程为12222byax,则离心率e=ac。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=ac代入双曲线的方程得)2(1)1()12(4)1(1422222222bhebhe将（1）式代入（2）式,整理得42e(4-4)=1+2,故=1232e.依题设4332得432e3-1322,解得107e.所以双曲线的离心率的取值范围是107e.例10已知抛物线y2=2px(p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=(x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为(p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p-b=1，即b=2p-1。又=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)0,3p2-2p0.解得：AOBxDCyE0p32.