高等量子力学位置表象和动量表象

例：设A，B不对易：CBA,但C与A，B皆对易：0,AC，0,BC，试计算],[nBA，)(,BfA。解：①11111,,,,,nnnnnnBABCBBABBBABBABA将n换成（n－1），就有],[],[221nnnBABCBBA],[2],[],[2212211nnnnnnBABCBBABCBCBBA重复这种递推过程（n－1）次，即得1111111,1,nnnnnnnnnCBCBCBnBABCBnBA②设nnnBfBf则nnnBnfdBBdfBf1nnnnnnBAfBfABfA,,,①为②的特例。由①的结果，若令，,xpBxA则1],[nxnxpnipx特别地，xpipxxx2222],[1],[nnnCBBABfBABfCnCBfnnn],[1BfBABfA],[,§7位置表象和动量表象在这一节和以后的两节里，我们根据量子力学的五个基本原理，讨论几个重要的算符位置算符X、动量算符P、角动量算符L，以及各种情况下的哈密顿H的本征值、本征矢量以及相关的问题；同时建立一些常见的表象并将初等量子力学中常见的表现形式同本书联系起来。本节主要内容：§7-1本正值谱和本征矢量§7-2位置表象和动量表象§7-3位置表象的函数形式§7-4xyz表象和r表象§7-5函数空间的性质*§7-1本正值谱和本征矢量首先研究单粒子的一维运动，讨论位置X和动量P的本征值谱和本征矢量。设x和p为归一化的本征矢量，x和p是本征值，则有xxxXpppP（7.1）（7.2）我们的任务是：求出本征值x和p分别可以取哪些值，以及相应的本征矢量之间的关系。讨论的根据是我们的原理1、原理2和原理3，其中唯一的定量关系是原理3中的对易关系：iPX,（7.3）xxxX我们首先设位置X有一个本征值x和一个相应的归一化的本征矢量x满足（7.1）式，然后去求其它的本征值和本征矢量。为此，用动量P构造一个幺正算符）（Q：PieQ）（式中是一个实数。）（Q是一个幺正算符，其伴算符为PieQQ1)(）（（7.5））（Q与X的对易关系是)()()(],[)]([QQPiQPPXQX，)(],[],[)]([BfBBABfBABfA，)()]([QQX，即）（）（）（QXQXQ将此式作用到x上，得xQxxQxXQxXQ）（）（）（）（)(（7.6）由此式可见，若x是X的本征矢量，则xQ）（也是本征矢量；若x是X的一个本征值，则x也是一个本征值。既然为任意实数时上述推理均能成立，就可以得出结论：位置算符X的本征值可取一切实数。这一结论说明，在量子力学中粒子位置的可取值与经典力学中情况并无不同。由（7.6）式知，X的一个本征矢量x被算符）（Q作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为x：xQxxQxXQxXQ）（）（）（）（)(xQxxQxXQxXQ）（）（）（）（)(xxQ）（（7.7）由于）（Q的幺正性，x也是归一化的。我们称）（Q为作用于位置本征矢量上的上升算符；xQx）（（7.8）可知，算符）（Q是左矢x的上升算符。由上式的左矢形式将）（Q[即（7.5）式]作用于x，由于）（）（QQ，可得xQxxxQ）（）（（7.9）可见算符）（Q是右矢x的下降算符，而）（Q是左矢x的下降算符。有了算符）（Q和）（Q，就可以从任何一个本征矢量出发，求出位置算符X的全部本征矢量x。PieQ）（PieQQ1)(）（对于动量P也可以作类似的讨论。引入算符XiXieTeT）（）（,式中为一实数，则有pTppTpppTppT)(,)()(,)(由此知动量算符P的本征值也可取全部实数，而其全部本征矢量p也可以由一个本征矢量出发，用上升算符)(T或下降算符)(T构造出来。（7.10）（7.11）§7-2位置表象和动量表象算符X和P都具有连续的本征值谱，X和P的本征矢量组x和p都是完全的。1xxdx1ppdp（7.12）（7.13）因而可以建立位置表象（x表象）和动量表象（p表象）。我们首先讨论位置表象。现将（7.12）式两边作用于X的一个特定的本征矢量x，得xxxdxx''xxxdxxdxxxxx)(而)(xxxx比较，得这是算符X的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。我们用全部正交归一化的x构成位置表象的基矢，讨论各种矢量和算符在这一表象中的矩阵，由于本征值是连续的，我们只能用本征值本身作为矩阵的行和列的编号；因而，这种矩阵将不是离散的而是连续的，这种矩阵称为连续矩阵。（7.14）设是一个归一化的矢量，归一于1或归一于函数均可，则利用（7.12）式得xdxxxxdxxx（7.15）x就是矢量在基矢x上的分量，x取一切值的x全体完全等价于矢量，称为矢量的位置表象。x是本征值x的函数，可以写成一个连续的一列矩阵：'''xxx（7.16）与此类似，左矢可以写成dxxxxdxx*（7.17）*x可以写成连续的一行矩阵：***'''xxx（7.18）dxxxdxxx*而内积可以写成矩阵形式：（7.19）''''''**xxxx即（7.20）算符A在位置表象中的矩阵元为xAxAxx''（7.21）算符对矢量的作用也可以写成矩阵形式，例如A可以写成xxAxdxAxx'''（7.22）写成连续矩阵形式即为xxxxxxAA'''（7.23）xxxxdxA''下面看几个最基本的矢量和算符在位置表象中的具体形式。首先看位置表象的基矢。设讨论一个具体的矢量0x，令0x，则其位置表象为)(00xxxxx其次看位置算符X在自己表象中的矩阵形式：)(''''xxxxxxxXxXxx（7.24）这是一个对角矩阵，其对角元是相同的行和列序号乘以函数型的无穷大；由于连续矩阵是以本征值本身作为行和列的序号的，所以所有的对角元都是本征值（乘以函数），这与离散情况有类似之处。为求动量本征矢量p在位置表象的形式px，令00xx表示算符X的本征值为零的本征矢量，00pp表示算符P的本征值为零的本征矢量：ppXipexpTxpx00)(ppxippxixeex00pPxixpxipxpxieexQe000)(0pxpxie00(7.25)ppT)(XiXieTeT）（）（,在上面的计算中，除应用了x和p的升降算符外，还要注意到：一个算符（或算符的函数）向右遇到自己的本征右矢或向左遇到自己的本征左矢时，该算符都可以用相应的本征值代替。现在问题的关键是要计算px00等于什么。利用（7.12）式，有dxpxxppppp)(dxeepxpxixpi200dxexppipx)(200)(2002pppxpxpxiepx002100pxpxiepx21(7.26)这就是动量本征矢量在x表象的（一列）矩阵形式，这里p是指定的本征值，是固定不变的；而x是一列矩阵的行序号，是变化的。若把p看作是一个方矩阵的列序号，则px即为由p表象到x表象的表象变换幺正矩阵。pxiepx21xpdppPppdpxxPxPxx动量算符P在位置表象中是一个连续矩阵，有dppdepppepxixpi)(21)(22121)(xxxipdpepxxi)(xxxi)(xxxi注意函数是偶函数，上面的结果是：若对行序号x微分则取负号，对列序号x微分则取正号。(7.27)(7.28)pxiepx21(7.29)动量表象也可以类似地讨论，特别是讨论动量表象中矢量x和算符X的矩阵形式；其中xp即是（7.26）式的复共轭，)()(''''pppipppiXpppxiepx21pxiexp21)()(''''xxxixxxiPxx§7-3位置表象的函数形式我们已经建立了位置表象的矩阵形式，这种表象形式有一个重要的特点就是算符X和P的矩阵中都带有一个函数。正是由于有这一特点，我们再向前稍跨一步，就可以得到一种简洁而实用的更好的表现形式，即位置表象的函数形式。连续矩阵形式的缺点是每当矩阵相乘时都要进行积分，函数正好可以消去这种积分而得出一个简洁的关系式。例如讨论下列关系的位置表象：XX''xxxxXdxxxXxxdXxxxxxxxxxdx')(''我们希望得到一个xx与xx二者的直接关系。根据矩阵形式，有这正是我们所希望的关系。由此就可以建立位置表象的函数形式。将描写矢量的x,x不看成一列矩阵，而看成是x的不同函数)(x和)(x，称之为态函数或波函数。)(''''xxxxxxxXxXxx将算符X和P等也不看成矩阵，而看成是一种对函数)(x的作用，其结果可得出另一新函数，这种作用仍称为算符，用Xˆ和Pˆ表示。于是（7.33）式的位置表象的函数形式可以写成)(ˆ)(xXx而从（7.34）式，算符Xˆ的函数形式可以定义为成立对于一切)().()(ˆxxxxXxxx（7.35）为了简单，有时把函数形式的位置算符写成xXˆ，这在数学上并不准确；因为算符Xˆ只作用到函数上面时才可以换成x，否则并不可以。下面研究动量算符Pˆ的函数形式。讨论关系：P仍从矩阵形式出发，有''')()(''''xxxxxxxxidxPdxxxdxixxxxixxxx'''''')()(xxixix于是（7.36）式在函数形式中可以写成为)(ˆ)(xPx而算符Pˆ的定义为xiPˆ（7.36）（7.37）（7.38）iPXˆ,ˆ对易关系仍为由于所有算符都可以写成Xˆ和Pˆ的函数，所以在x表象的函数形式中，一切量子力学公式都可以避免矩阵乘积的积分，使公式大大简化。无经典对应的物理量，一般无连续本征值谱，不存在这一问题。唯一需要保留积分运算的是矢量的内积：dxxx)()(*（7.40）（7.39）在函数形式中，算符Aˆ的伴算符的定义是任意)(x和)(x满足dxxAxdxxxA)(ˆ)()()(ˆ**的算符Aˆ。dxxHxdxxxH)(ˆ)()()(ˆ**（7.41）（7.42）对于动量算符Pˆ来说，由于要经过一个分部积分：dxxxiidxxxixx)()(**