多元复合函数求导和隐函数求导

多元复合函数求导和隐函数求导这节内容比较难，听课要认真。要搞清我们学什么，要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。一.显函数及复合函数1.显函数：)(xfy（显现出来y）),(yxfz（显现出z）2，二元显函数求偏导：将一个固定，对另一变量求导。3，复合函数：（复合函数是显函数）一元：))(()()(xfyxuufy作图：xuy))(),(()()(),(xxfyxvxuvufy作图：二元：)],(),,([yxvyxufz（如),(),(yxvyxuz）作图：三元：如),,()(zyxuufw作图：4，链式：xuy环环→一条链两条链二、复合函数的求导：链式法则：一元：))(()()(xfyxuufydxdududydxdy))(),(()()(),(xxfyxvxuvufy“一条链”＋“另一条链”dxdvdvdydxdududydxdy＋同理写出下列链式公式：xvvzxuuzxz＋yvvzyuuzyz＋u——xyv——xu——xzv——yxw——u——yzu——xyv——xu——xyv——xu——xzv——yxuuwxwyuuwywzuuwzw例1yzxzyxvyxuvuz,,23,.ln2求解：方法一：把vu,代入直接求；方法二：用链式法则31ln22vuyvuxvvzxuuzxz＝＋)2()(ln222vuyxvuyvvzyuuzyz＋例2对抽象函数),,(xyzxyxfu，求zuyuxu,,解：令xyzxyx3,2,1')('')(''321xxxyzfxyffxu＝')('')('32yyxyzfxyfyu＝')('3zxyzfzu＝xw——u——yzu——xzv——y1——xu——2——y3——z隐函数的求导上节我们学了复合函数的求导法则：链式法则。今天我们开始学习隐函数的求导，首先我们要弄清什么是隐函数。一、隐函数：（隐藏在方程中的函数）一元：0),(yxF确定函数)(xfy（如01yeyx）二元：0),,(zyxF确定函数),(yxfz(如01zezyx)由定义首先我们的问题是：什么情况下隐函数存在？若存在，又怎样对其求导？对第一个问题，我们不做深入的研究。大家要知道160页定理2的前半部分说明隐函数的存在性。下面我们研究如何求导或偏导。二、隐函数求导方法：一元0),(yxF二元0),,(zyxF隐函数存在性定理隐函数存在定理方法一：两边对x求导，把y看作)(xf；方法一：两边对x或y求导，把z看作),(yxf；（本质是复合函数),(yxF求导)(xfy）（本质是复合函数),,(zyxF求偏导）方法二：（公式法）方法二：（公式法）''yxFFdxdy,''zxFFxz,''zyFFyz求法：0),(yxF，把y看作)(xf0),,(zyxF，把z看作),(yxf两边对x求偏导，两边对x求偏导，0dxdyyFxF0dxdzzFxF''yxFFdxdy,''zxFFxz比较两种方法：其本质相同，但“形”上不同。第一种方法中，需要把把y看作)(xf；而第二种方法是对),(yxF而言。例：由0lnlnxyxy确定的函数)(xfy，求'y解：方法一：（两句话：两边对x求导，把y看作)(xf）xFy——xxF——yxzy01'1'xyyxyy方法二：（公式法：注意公式中的函数）设xyxyyxFlnln),(xyFx1'yxFy1''''yxFFy课堂练习