统计学第五章(变异指标)

本节基本结构变异指标极差平均差标准差变异系数课程学生语文数学英语总成绩平均成绩甲乙丙606555656565706575195195195656565单位：分某班三名同学三门课程的成绩如下：请比较三名同学学习成绩的差异。第五节变异指标的计算与应用反映一组变量值差异程度的综合指标。变异指标变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大05101520152154156158160162164166168170172174050100150152154156158160162164166168170172174集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱cmx164cmx164一、变异指标的作用衡量平均指标代表性的大小；反映社会经济活动过程的均衡程度与稳定程度；是进行抽样推断等统计分析的基本指标。测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）极差平均差标准差平均差系数标准差系数变异指标的种类minmaxXXR指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称全距。极差最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限二、变异指标的计算与应用【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则元310440750minmaxXXR【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）90以下90～100100～110110以上859510511523103合计—18计算该公司该季度计划完成程度的全距。﹪解：4080120109010110minmaxXXR优点:直观、计算方法简单、运用方便缺点:受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差极差的特点nxxnxxxxDANiin11⑴简单平均差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D表示平均差计算公式：算术平均数总体单位总数第i个单位的变量值i【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：元6.93546855587505584401nxxDAnii元558527905750600520480440x即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。miimiiimmmffxxfffxxfxxDA11111⑵加权平均差——适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第i组变量值出现的次数i第i组的变量值或组中值i【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000Xf元95.52220001045900200020950208250X元95.13820006.27789320002095.52295020895.5222501ffXXDAmii解：即该公司职工月工资的平均差为138.95元。优点:能综合反映全部单位标志值的实际差异程度.平均差的特点缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。nxxnii21⑴简单标准差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；标准差的平方又叫作方差，用来表示。2标准差计算公式：变量值总个数第i个单位的变量值i算术平均数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。解：元558527905750600520480440x（比较：其销售额的平均差为93.6元）元62.10956008055587505584402221nxxnii即该售货小组销售额的标准差为109.62元。⑵加权标准差——适用于分组资料miiimiiffxx121标准差的计算公式算术平均数第i组变量值出现的次数i第i组的变量值或组中值i【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000Xf元95.52220001045900200020950208250x解：元9.167200001.5638659520002095.52295020895.52225022（比较：其工资的平均差为138.95元）即该公司职工月工资的标准差为167.9元。标准差的特点能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算。22xx22nxnx22fxfffx简单标准差加权标准差标准差的简捷计算避免离差平方和在计算过程中的出现目的:变量值平方的平均数变量值平均数的平方标准差的简捷计算证明222222112122122)()()(2)(2])(2[)(xxxxxnxnxxxnxxxxnxxniiniiniiinii方差的数学性质变量对算术平均数的方差小于对任意常数的方差。即当时，Axnxxnii12)(nAxnii12)(kg500大象kg5.0免子kgx3500大象kgx5.2免子可比变异系数指标身高的差异水平：cm体重的差异水平：kg用变异系数可以相互比较身高身高x体重体重x可比平均差系数标准差系数﹪100XDAVDA﹪100XV变异系数用作不同数据之间离散程度的对比——变异系数小的数据，其平均数的代表性大；反之，亦然。应用:【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。解：﹪﹪﹪02.19100826.15100111XV一班成绩的标准差系数为：二班成绩的标准差系数为：﹪﹪﹪47.19100768.14100222XV因为，所以一班平均成绩的代表性比二班大。21VV分组单位数变量值具有某一属性不具有某一属性10合计—为研究是非标志总体的数量特征，令0N1NN指总体中全部单位只具有“是”或“否”、“有”或“无”两种表现形式的标志，又叫交替标志是非标志是非标志具有某种标志表现的单位数所占的成数NNP1指是非标志总体中具有某种表现的单位数占全部总体单位总数的比重成数是非标志的平均数（成数）PNNNNNfxfx10101均值是非标志的标准差pqpqpqqppqNNNpNpffxx22010212201)(标准差25.05.02max时，有当qp是非标志的方差pppq12方差【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。218.0)95.01(95.095.054002095400380203804000101pqPxNNqNNpNNN所以有：﹪，﹪，则件，件，件，己知是非标志的变异指标解：