陈国华等主编概率论与数理统计第三章习题解答

陈国华等主编概率论与数理统计第三章习题解答由于时间与水平关系，难免有错，请发现错误的老师通过邮箱[e-mail]或QQ409786710告诉我，进行修改，谢谢各位习题3.11.盒中有4个红球1个白球,从盒中任取两次,每次取一球.令11;.00XY⎧⎧==⎨⎨⎩⎩第一次取到红球第二次取到红球第一次取到白球第二次取到白球求:(1)在有放回抽样情形下,的联合分布律;(2)在不放回抽样情形下,的联合分布律.),(YX),(YX答案：（1）采用有放回抽样时（x.y）的联合分布为YX0101/254/2514/2516/25（2）采用不放回抽样时（x,y）的联合分布为YX01001\511\53\52.盒中有4个红球1个白球3个黑球,从盒中不放回地任取4球.试求取得红球数与白球数的联合分布律.答案：解：以x表示取到的红球只数，y表示取到的白球只数，则任取四只球的可能情况如下红43322110白01010101黑00112233所以（x,y）的可能情况为（4,0），（3,1），（3,0），（2,1），（2,0），（1，1），（1，0），（0，1）且400413481(4,0)70CCCPXYC====;310413484(3,1)70CCCPXYC====3014134812(3,0)70CCCPXYC====;2114134818(2,1)70CCCPXYC====2024134818(2,0)70CCCPXYC====;1124134812(1,1)70CCCPXYC====103413484(1,0)70CCCPXYC====;013413481(0,1)70CCCPXYC====从而（x,y）,的联合分布律为XY01234004701870127017011701270187047003.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧−−=.,0;42,20),6(),(其他yxyxkyxp试求：⑴常数k;⑵P(X1,Y3);⑶P(X1.5);⑷P(X+Y≤4)答案：解：⑴由，解得K=2402(6)1dxkxydy−−=∫∫18⑵P{X1，Y3}=130213(6)88dxxydy−−=∫∫P{X1.5}=⑶1.540212(6)83dxxydy−−=∫∫72P{X+Y≤4}⑷=240212(6)83xdxxydy−−−=∫∫4.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=+−.,0;0,0,,()43(其他yxkeyPxpyx试求：⑴常数k;⑵(X,Y)的联合分布函数F(x,y);（3）P(0X≤1,0Y≤2).答案：解：⑴由(34)00112xykkedxdy+∞+∞−+==∫∫解得K=12⑵当X≤0或Y≤0时，有F（x,y）=0,而当X〉0，Y〉0时12(34)342100(,)12(1)(1)xyttxyFxyedtdtee−+−−==−∫∫−所以34(1)(1)0,0(,)0xyeexyFxy−−⎧−−=⎨⎩其他（3）3811(01,02)(1,2)10.9499PxyFeee−−≤≤==−−+=5.设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为2/3,01,02;(,)0,.xxyxypxy⎧+=⎨⎩其他求P(X+Y≥1).答案：解：P(X+Y1)=≥12201()3xxyxdydx−+∫∫=13205416()6327xxxdx++=∫526.设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为1/2,01,02;(,)0,.xypxy⎧=⎨⎩其他求X与Y中至少有一个小于0.5的概率.答案：解：两事件}{0.5x与}{0.5y中至少有一个发生的概率为}}{{}{(0.50.5)10.5,0.5PxyPxy=−≥≥∪=120.50.515128dydx−=∫∫习题3.21.设平面区域D由曲线及直线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D上服从均匀分布,试求X的边际密度函数.答案：解：区域D的面积2211011122eexDSdydxdx==∫∫∫x=又因为（X,Y）服从D上的均匀分布，所以（X,Y）的联合密度函数为2111,0(,)20xeyPXYx⎧⎪=⎨⎪⎩其他由此得，当21xe时1011()(,)22xXPxfxydydyx+∞−∞==∫∫=所以X的边际密度函数为211()20XxePxx⎧⎪=⎨⎪⎩其他2.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=.,0;10,6),(2其他xyxyxp试求边际密度函数).()(ypxpYX和答案：22+-66()0()(,)xxXdyxxxPxfxydy∞∞⎧1=−⎪==⎨⎪⎩∫∫0其他+-66()0()(,)yyYdxyyyPyfxydy∞∞⎧1=−⎪==⎨⎪⎩∫∫0其他习题3.31.设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧=其他,0;0,10,3),(xyxxyxp试求条件密度函数p(yx).答案：解：X的边际密度函数为20330()(,)0xX1xdyxxPxpxydy+∞−∞⎧=⎪==⎨⎪⎩∫∫其他10(,)(=()0XyxPxyPyxxPx⎧⎪⎨⎪⎩）其他2.设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0;1,421),(22其他yxyxyxp求条件概率}.5.0|75.0{=≥XYP答案：解：因为X的边际密度函数为212242121(1)11()(,)480xXxydyxxxPxpxydy+∞−∞⎧=−−⎪==⎨⎪⎩∫∫其他所以4201(,)()1()0XyyPxyPyxxPx⎧⎪==−⎨⎪⎩其他所以}10.753270.750.51515yPyxdy⎧≥===⎨⎩∫3.已知随机变量Y的密度函数为⎩⎨⎧=.,0;10,5)(4其他yyypY在给定Y=y条件下,随机变量X的条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧=.,0;10,3)|(32其他yxyxyxp求概率P(X0.5).答案：解：因为21501(,)()()YxyxyPxyPyPxy⎧=×=⎨⎩0其他所以1120.547(0.5)564xPxxydydx==∫∫4.设X与Y是两个相互独立的随机变量,(0,1),(1)XUYExp∼∼试求(1)X与Y的联合密度函数;(2)P(Y≤X);(3)P(X+Y≤1).答案：解：（1）X,Y的密度函数分别为10()0X1xPx⎧=⎨⎩其他0()0yYyPx−⎧=⎨⎩e其他由X,Y的独立性知X与Y的联合密度函数为01,(,)()()0yXYexyPxyPxPy−⎧0==⎨⎩其他（2）111000()(1)xyxPyxedydxedxe−−≤==−=∫∫∫−（3）111(1)1000(1)(1)xyxPyxedydxedxe−−−−−+≤==−=∫∫∫习题3.41.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为YX12300.050.150.2010.070.110.2220.040.070.09试分别求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的分布律.答案：解：易知max(,)Uxy=的可能取值为1.2.3.并且(1)(0,1)(1,1)0.050.070.12PUPxyPxy====+===+=(2)(0,2)(1,2)(2,2)(2,1)0.050.110.070.040.37PUPxyPxyPxyPxy====+==+==+===+++=(3)(0,3)(1,3)(2,3)0.200.220.090.51PUPxyPxyPxy====+==+===++=所以U的分布列为U123P0.120.370.51同理V的分布列为V012P0.400.440.162.设随时机变量X和Y的分布列分别为X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2已知P(XY=0)=1,试求Z=max(X,Y)的分布列.答案：解：记（x,y）的联合也分布列及其边际分布为YX01P(X=i)-111p12p14021p22p12131p32p14P(Y=j)12121由知，所以(0)PXY==1112131221pppp+++=12320pp==进而求得2212p=，，210p=1114p=，3114p=。即（X,Y）的联合分布列为YX01-114000121140所以Zxmax(,)y=的分布列为Z01P14343.设X和Y为两个随机变量,且.74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥YPXPYXP试求).0),(max(≥YXP答案：解：因为43=(0)(0,0)(0,0)(0,0)77PxPxyPxyPxy≥=≥≥+≥=+≥〈所以1(0,0)7Pxy≥=同理：由4(0)7Py≥=可得1(0,0)7Pxy≥=再由(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)PxyPxyPxyPxy≥≥+≥〈+≥+=1求得2(0,0)7Pxy=所以(max(,)0)1(max(,)0)1(0,0)PXYPXYPXY≥=−=−=574.设X与Y的联合密度函数为⎩⎨⎧=+−.,0;0,0,),()(其他yxeyxpyx试求以下随机变量的密度函数(1)Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X.答案：解：（1）因为。所以当0,0xy0z≤时，()0ZFz=当时，0z22()002(2)220()()(2)(1)12zzxxyZzxzxzzFzPzxPxyzedydxeedxeze−−+−−−−−=≤=+≤==−=−−∫∫∫所以0()0ZzPz⎧=⎨⎩-2z4ze其他（2）当时0z≤()0()0()()()12xyZyzyyzzPzPZzPyxzedxdyeedye+∞+∞−+−+∞−−−=≤=−≤===∫∫∫当时0z()00()0()()()1(1)12xzxyZxxzzPzPZzPyxzedydxeedxe+∞+−++∞−−+−=≤=−≤==−=−∫∫∫所以1()(,)2zZPzez−=∈−∞+∞5.设随机变量X服从(1,2)上的均匀分布,在X=x的条件下,随机变量Y的条件分布是参数为x的指数分布,证明:XY服从参数为1的指数分布.答案：解：因为(1,2),|()XUYXxEx=∼∼，所以(,)()()02,0xyXPxypxpyxxexy−=×=令则的逆变换UXYVX=⎧⎨=⎩uxyvx=⎧⎨=⎩xvuyv=⎧⎪⎨=⎪⎩，其雅克比行列式为20111xxuvJuvyyvvuv∂∂∂∂===−∂∂∂∂−所以（u,v）的联合分布函数为11(,)(,)2,0uvuvUVXYupuvpvveevuvvv−−⋅⋅=−=⋅=1由此可得U=XY的边际密度函数为210()0uuUedveuPu−−⎧=⎪=⎨⎪⎩∫其他函数表明：U=XY服从参数为1的指数分布第三章自测题一、填空题1．是二维连续型随机变量，用的联合分布函数表示下列概率：),(YX),(YX),(yxF（1）;____________________),(=≤≤cYbXap（2）(,)______;pXaYb=（3）（4）(0)_________;pYa≤=(,)_______.pXaYb≥=2．设平面区域D由曲线xy1=及直线所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则的联合分布密度函数为2,1,0exxy===),(YX),(YX．3．设随机变量X和Y独立，并分别服从正态分布和，求随机变量的分布密度函数为)25,2(N)49,3(N534+−=YXZ．4．设随机变量均服从如下分布：)2,1(=iXi2,1,21)0(,41)1()1(======−=iXPXPXPiii且满足，则1)0(21==XXP)(21XXP==．5．设独立且均服从正态分布，且YX,),0(2σN41)2,2(=−≤≤YXP，则=−)2,2(YXP．答案：1.①.(,)(,)FbcFac−②.③.(,)Fab(,)(,0FaF)+∞−+∞④.(,)(,FbFa)b+∞−2.2111,0(,)20xeyfxyx⎧≤≤≤≤⎪=⎨