函数的单调性与导数

3.3.13.3.1设函数y=f(x)的定义域为I,D是I的子集，当对任意的两个变量x1、x2∈D且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，D称为单调区间二、复习引入:3.3.1判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)xyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：3.3.12.怎样用定义判断函数的单调性？（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论3.3.1思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？3.3.12yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.3.3.1单调性导数的正负函数及图象(,0)在上递减(0,)在上递增xyoyfx()abxyoyfx()ab切线斜率的正负kxyo2()fxxk0k0k0k0++--递增递减3.3.1ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减3.3.1例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负3.3.1设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C3.3.12.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析由导函数的图象可知，当x0时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f′(x)0，即f(x)为减函数；当x2时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.D3.3.1练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一.3.3.1例1：求函数的单调区间。3233yxx理解训练：解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变2：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e注意:单调区间不可以并起来.3.3.1利用导数确定函数的单调性的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求出函数的导数；（3）解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．3.3.13．函数y＝4x2＋1x的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(12，＋∞)D．(1，＋∞)解析：由y′＝8x－1x2＝8x3－1x20，得x12，即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．答案：C3.3.1例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(33.3.1xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1))(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xf3.3.1xyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。3.3.1(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4))(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或3.3.1xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;3.3.1练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf3.3.1∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝exx－2；小结：利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.例2求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间：3.3.1所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)0得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).小结(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.3.3.1解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝2x－1x＝2x－1)2x＋1)x.因为x0，所以2x＋10，由f′(x)0得x22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，＋∞；由f′(x)0得x22，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，22.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).f′(x)＝exx－2)－exx－2)2＝exx－3)x－2)2.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，3.3.14．求下列函数的单调区间．(1)y＝xex；(2)y＝x3－x.解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′0得x－1.令y′0得x－1，因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．3.3.1(2)函数的定义域为R，令y′＝3x2－10，得x－33或x33；令y′＝3x2－10，得－33x33.∴y＝x3－x的单调递增区间为(－∞，－33)和(33，＋∞)，单调递减区间为(－33，33).3.3.1ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减3.3.1探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”.3.3.1例3如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.解(1)→B(2)→A(3)→D(4)→C3.3.1小结通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行.3.3.1练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()3.3.1解析从f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋b2内，导数递增；在区间a＋b2，b内，导数递减.即函数f(x)的图象在a，a＋b2内越来越陡峭，在a＋b2，b内越来越平缓.答案D3.3.11.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.小结3.3.1热点一已知函数的单调性求参数的取值范围【例1】(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．解(1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx(x＞0)，∴f′(x)＝2x＋1－1x＝2x－1)x＋1)x，x∈0，12，f′(x)＜0，x∈12，＋∞，f′(x)＞0，∴f(x)的减区间为0，12，增区间为12，＋∞.3.3.1(2)f′(x)＝2x＋a－1x.∵f(x)在区间(0,1]上是减函数，∴f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立，即2x＋a－1x≤0对任意x∈(0,1]恒成立，∴a≤1x－2x对任意x∈(0,1]恒成立．令g(x)＝1x－2x，∴a≤g(x)min，易知g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.3.3.1规律方法(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)0(或f′(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．3.3.12120101fxaxx,,xfxx,a.已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax()例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增31f'xa-xx()0,即在（0，1]上恒成立31gxxgxgmax而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-11a-3.3.1322f'xx当a1时，()1f'xa-fx对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数所以a的范围是[-1，+）在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)3.3.1求参数的取值范围325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+