二维随机变量的定义、分布函数

体重X身高Y例2：检查某大学的全体学生的身体状况,例1飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的.从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。任务：需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。3.1.1二维随机变量的定义、分布函数定义3.1.1设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称为Ω上的一个二维随机变量。向量（X，Y）二维随机变量（X,Y）的几何意义二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A定义3.1.2称为二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.},{yYxXP记作)()(),(YXPyxFxy二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义xy),(yxo)()(),(yYxXPyxF几何解释：F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Yy2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率P（x1Xx2，y1Yy2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)11,yx12yx,22yx,21yx,性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量的联合分布函数的性质F(x,y)分别关于X和Y.≤F(x,y)≤.F(x,－∞)=；F(－∞,y)=.F(－∞,－∞)=；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分别关于X和Y.011211222),(),(),(),(yxFyxFyxFyxF有,,),,(),,(21211122yyxxyxyx单调不减；010001右连续；3.1.2二维离散型随机变量定义3.1.3若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………nppp11211mnmmppp2110ijp111ijijpPij的性质)1()2(例题讲解例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的可能取值为(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).P{X＝1，Y＝1}=P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，01/31/31/30(X,Y)的联合分布律X/Y1212，若第一次取得次品若第一次取得正品10,X，若第二次取得次品若第二次取得正品10,Y箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的联合分布律。其中：},{},{0100YXPYXP},{},{1110YXPYXP11101221121210119121011112222153353356611010XY(X,Y)的联合分布律)()(iXjYPiXP例2.设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,Y在1—X中等可能地取整数值,求(X,Y)的分布列及F(2,2).解(1,2,3,)iji1/31/6),(jYiXP0XY1231231/61/91/91/90031i1)2,2()1,2()2,1()1,1(YXPYXPYXPYXP=++=2/3F(x,y)=P(Xx,Yy)F(2,2)1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P(X2,Y2)例：(X,Y)的联合分布律如下：YX-1012k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?+++k=1k=YX-1012时，或当11yx-1120XY},{),(yYxXPyxF0YX-1012-1120XY},{),(yYxXPyxF时且当0121yx4111},{YXPYX-1012-1120XY},{),(yYxXPyxF时且当012yx,61411211},{},{YXPYXPYX-1012-1120XY},{),(yYxXPyxF时且当yx021,41410111},{},{YXPYXPYX-1012-1120XY},{),(yYxXPyxF时且当yx02,102101261410214141012141110yxyxyxyxyxyxF且且且且或),(Y=-1Y=0X=1X=23.1.3二维连续型随机变量定义3.1.4(二元连续型随机变量)若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.yYxXPyxF,),(xydudvvuf),(二维连续型随机变量的联合概率密度的性质0),(yxf（1）非负性（2）正则性1),(),(dxdyyxfF),(),(2yxfyxyxF（3）可导性}),{(GYXPGdxdyyxf),(几何解释=曲顶柱体的体积xof(x,y)),(yxfG（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率例题讲解例1：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度求：⑴系数A；⑵F(x,y)；⑶P{X2,Y1};(4)P{2X+3Y≤6}其它,00,0,),()32(yxAeyxfyx100)32(dxdyAeyx即：.6A故1),(),()1(dxdyyxfF：由解16)()(60302AeeAyx时，当）解（002yx,其它,,),)((),(0001132yxeeyxFyx求：⑵F(x,y)；其它,,,),()(000632yxeyxfyxxyyxdxdye00326)(，))((yxee3211),(yxF故xy解(3):P{X2,Y1}212010326dyedxyx3411ee},{),(12yxdxdyyxf其它,,,),()(000632yxeyxfyx{x2,y1}f(x,y)≠032xy0解(4):632)32(6yxyxdxdye303260326xyxdyedx)(671e}632{YXP三角形dxdyeyx)32(6其它,00,0,6),()32(yxeyxfyxf(x,y)≠0二维均匀分布设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称（X,Y)在D上服从均匀分布.其中G是平面上的有界区域，其面积为SG),(yxf.),(,;),(,GyxGyxSG01例题讲解例1：设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分布，其中G是曲线y=x2和y=x所围成的区域，则(X,Y)的联合概率密度fx,y=其他,;),(,0611102GyxdxxxSG01100yxyx,,例2、设随机变量（X，Y）在区域上服从均匀分布，则}210,210{yxP=),(yxf2102102dydx其他,;,,,01002yxyx