直角三角形的边角关系

第一章直角三角形的边角关系《锐角三角函数（第1课时）》教学设计一、教学目标知识与技能：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等.3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算.过程与方法：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.2.体会解决问题的策略的多样性，发展学生的几何直观能力和符号感，发展学生观察、分析、发现问题的能力.情感态度与价值观：1.通过本节课程的学习，促使学生更加热爱生活，理解数学源于生活，又为生活服务.2.进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质.二、教学重难点教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系..教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：探求新知；第三环节：应用与拓展；第四环节：变式练习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.第一环节创设问题情境活动内容1：介绍世界文化遗产——意大利比萨斜塔，激发学习兴趣我们都知道世界著名的建筑——意大利比萨斜塔.但你知道比萨斜塔是如何倾斜的和倾斜角度是多少吗?如下图，小明说，只要测得垂直中心线、塔身中心线的长度及塔顶中心点偏离垂直中心线的距离这三个数据中的任意两个，他就可以计算出塔身倾斜角的大小.你想知道小明是如何做的吗？那么，我们一起来学习新知识吧.通过本章的学习，你就会明白小明这样做的道理.活动目的：让学生初步从实际问题中去体会直角三角形的边角之间存在一定的关系，并通过这个活动，让学生留意身边的数学；初步感受到倾斜程度在生活中的随处可见，并可以用数学模型来描述.教学效果：学生对小明的方法感到好奇，生动的课堂引入激发了学生强烈的求知欲望.并能初步感受到倾斜程度是可以用数学方法来描述的.活动内容2：观察梯子的倾斜程度由活动1知道，倾斜的物体在生活中随处可见，那我们该如何判断物体的倾斜程度呢？大家都会用“陡峭”或“平缓”来描述.1.图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？2.图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t与2t大小，当12tt、12tt、12tt时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍.（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度.这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲.让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较.活动效果：学生可以很快用不同的方法从图1—1和图1—2中分辨出哪个梯子更陡.但对于图1—3，学生则普遍感到有一定难度.教师通过运用几何画板的演示活动，引导学生比较对边与邻边的比，来比较梯子的倾斜程度.学生会发现这是个新的知识，需要利用这个新的知识来认识梯子的倾斜程度，这为引入本节课图1—1图1—2图1—3表1的知识点——正切值埋下了伏笔.第二环节探求新知活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？如图1-4，小明想通过测量11BC及1AC，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量22BC及2AC，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？（1）11RtABC和22RtABC有什么关系？（2）222ACCB和111ACCB有什么关系？（3）如果改变2B在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？活动目的：通过对前面问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度.这个活动旨在说明，当倾斜角确定时，其对边与邻边之比也随之确定.这一比值只与倾斜角度有关，而与直角三角形的大小无关.教学效果：学生能借助三角形相似的知识理解两个比的关系，通过简单推理获得结论：221121BCBCACAC，并能发现如果改变2B在梯子上的位置，仍有221121BCBCACAC.能理解这个关系之所以不变，是由于锐角11BAC不变的原因，为学生理解下面的知识：用对边与邻边的比来定义正切，奠定了基础.图1—4活动内容2：结合活动内容1，请同学们思考：既然直角三角形中，一个锐角一旦确定，它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢？数学上，我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切.如图1—5，我们把A的对边与A的邻边的比，叫做A的正切（tangent），记作tanA.即tanAAA的对边的邻边对于正切的定义，同学们必须明确以下几点：1.tanA中常省略角的符号“∠”.用希腊字母表示角时也可省略如：tan、tan等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tanBAC或tan1、tan2等；2、tanA没有单位，它表示一个比值；3、tanA是一个完的整数学符号，不可分割，不表示“tan”乘以“A”；4、一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tanAAA的对边的邻边只能在直角三角形中适用；请同学们思考，梯子的倾斜程度与tanA的值有关吗？tanA的值越大，梯子越陡活动目的：通过对直角三角形中边角关系的探索，合理的引出正切的定义；通过对定义的辨析，发展学生的符号感；通过探究梯子的倾斜程度与tanA的值的关系，渗透数形结合的数学思想；进一步体会正切的意义和与现实生活的联系.教学效果：通过观察、探索梯子的倾斜程度自然的引出了正切的定义，能理CBA图1—5A的邻边A的对边解规定tanAAA的对边的邻边的合理性，经历了由形到数的过程；通过探索结论“tanA的值越大，梯子越陡”体验了由数到形的过程，体会到利用数形结合的思想是解决数学问题的常用方法.第三环节应用与拓展活动内容1：例题1：图1—6表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手扶电梯比较陡？活动目的：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度，这是对第二环节中得出结论的直接运用，旨在巩固正切的定义以及发展学生的数学应用意识.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力教学效果：学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展了合情推理的能力，并都能通过简单的计算得出结论，而且能有条理、清晰地阐述自己的观点.活动内容2：认识坡角、坡度（坡比）坡角：坡面与水平面的夹角；坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切.如图1—7，有一山坡在水平方向上每前进100m米就升高60m，那么山坡的坡角是，坡度（坡比）就是：603tan1005教学目的：认识坡角、坡度（坡比），理解坡度（坡比）其实质就是坡角的正切.体会数学与实际生活的联系.βα（乙）4m（甲）13m5m8m图1—6α100m60m图1—7教学效果：通过工程学上的例子，学生能理解正切、倾斜程度、坡度的数学联第，加强了数学与生活的联系，发展了学生的数学应用意识.第四环节变式练习活动内容：1、如图1—8，在ABC中，90C，6AC，若3tan4A，则AC=；2、如图1—9，在ABC中，10ACAB，16BC，则tanB；3、如图1—10,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m.求山坡的坡度(结果精确到0.001m).活动目的：为学生运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题提供资源，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法.让学生尝试用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，学会运用正切的定义进行简单的计算.教学效果：以上3个例题都是基础题，其中第2题学生需要添加简单的辅助线，加深了学生对正切的理解，体会到正切是在直角三角形中定义的，因此使用的前提必须是在直角三角形中使用.第五环节课堂小结活动内容：师生互相交流总结本堂课所学的知识点和体会；谈谈对本节知识BCA图1—8ACB图1—9图1—10的理解.活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），让学生能正确阐述对正切、倾斜程度、坡度等数学意义的理解.教学效果：学生能畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对各知识点掌握更加透彻.不同的学生在数学上获得了不同的发展.第六环节布置作业作业：习题1.11、2