函数的单调性讲义

Ⅰ基础巩固一、用定义法求函数单调性：取值作差化积定号.（这是最基本的思路.）1、方法与步骤：证明格式：①取任意两个数12,xx属于定义域D，且令12xx（反之亦可）；②作差法，与0比较作商法，与1比较（作商时，只有同号，才能比较大小）③1212fxfxfxfxfxfx若单调递增若单调递减并由此说明函数的增减性；2、单调区间的书写要求若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数()fx在其定义内的两个区间A、B上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为()fx在区间AB上是增（减）函数.例如1()fxx在区间(,0)上是减函数，在区间(0,)上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)(0,)上是减函数.事实上，若取1211xx，有(1)11(1)ff。例1：用定义法证明函数21,1xfxx在上是减函数。证明：原函数可变形为111fxx，设1212,1,xxxx且，则12fxfx12111111xx211211xxxx21210xxxx121,10,20xxx120fxfx12fxfx21,1xfxx在上是减函数。例、已知函数f(x)=ax+12xx(a1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.函函数数单单调调性性体验思路：定义法来证明函数的单调性；第二问让我们温习了反证法的解题过程.体验过程：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x10,12xxa1且1xa0,∴)1(12112xxxxxaaaa0,又x1+10,x2+10∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是f(x2)－f(x1)=12xxaa[phone]xxxx0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则12000xxax且由0＜0xa＜1得0＜－1200xx＜1,即21＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.练习1：用定义法证明函数23Rfxx在定义域内单调递增。练习2、证明函数31fxx在其定义域内是减函数。例2、用定义方法证明212xfx在定义域内是单调递增函数。证明：设1212,Rxxxx且，0fx,11222121212222xxxxfxfx1212,0xxxx122112221xxfxfxfxfxfx在定义域R内为减函数。练习3、2log21,0,fxxx已知用定义法证明函数在定义域内单调递增。二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=xk(k≠0).解当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).解当a＞1时(－∞，－ab2)是这个函数的单调减区间，(－ab2，+∞)是它的单调增区间；当a＜1时(－∞，－ab2)是这个函数的单调增区间，(－ab2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).解当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).解当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、用特殊方法判断函数单调性。（1）增（减）函数图像上任意两点1122,x,,AxfBxfx连续的斜率0ABK、（2）若yfx在区间D上位增（减）函数，且1212,,xxDxx，则1212fxfxfxfx或（3）复合函数的单调性为‘同增异减’（4）若fx为增函数，则fx为减函数，()fx为增函数，1()fx为减函数（5）增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。［例］若axy与xby在,0上都是减函数，对函数bxaxy3的单调性描述正确的是()A.在,上是增函数B.在,0上是增函数C.在,上是减函数D.在0,上是增函数，在,0上是减函数解析:由函数axy在,0上是减函数，得a＜0，又函数xby在,0上是减函数，得b＜0，于是，函数3ax，bx在,上都是减函数，∴函数bxaxy3在,上是减函数，故选C．［例］求函数31)(xxxf的最大值．解析：由31431)(xxxxxf，知函数31)(xxxf在其定义域[3，+上是减函数．所以31)(xxxf的最大值是2)3(f．【技巧提示】显然由31431xxxx使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的又例已知1,0x，则函数xxy12的值域是.解析：∵xxy12在1,0x上单调递增，∴函数xxy12的值域是)1(),0(ff．即3,12．再例求函数xxy21的值域．解析：∵xxy21在定义域,21上是增函数，∴函数xxy21的值域为,21（6）互为反函数的两个函数有相同的单调性。（7）奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；（8）xbaxxf)()0,0(ba被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线．函数)0,0(baxbaxy在,,bbaa或上单调递增；在,00bbaa或，上是单调递减。［例］试判断函数xbaxxf)()0,0(ba在0,上的单调性并给出证明.解析：设120xx，12121212axxbfxfxxxxx由于120xx故当12,,bxxa时120fxfx，此时函数fx在,ba上增函数，同理可证函数fx在0,ba上为减函数.又例：求函数4522xxy的最小值．解析：由uguuxxxxy1414452222,,2u,用单调性的定义法易证uuug1在,2上是增函数，易求函数4522xxy的最小值为25为所求．再例：已知函数,1,22xxaxxxf.若对于x,1,)(xf＞0恒成立，试求a的取值范围.解析：由)(xf＝,1,222xxaxxaxx.当a＞0时，2xaxxf显然有)(xf＞0在.1恒成立；a≤0时，由,x,xaxxaxxxf1222知其为增函数，只需)(xf的最小值)1(f＝3＋a＞0,解之，a＞－3.∴当a＞－3时，)(xf＞0在,1上恒成立.Ⅱ、题型与方法归纳题型一：基本函数的单调性（二次函数，指数函数，对数函数，反比例函数，三角函数）方法：图形法例、已知函数223,2,3fxxx，求函数的单调递增区间。解：函数的对称轴是0x，函数图像如有图所示函数的单调递增区间是(2,0)练习5：指出函数223fxxx的单调区间题型二：复合函数单调性：（同增异减）复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x).其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数.［例］函数)(xf在R上为增函数，求函数)1(xfy单调递减区间．解析：令1xu，则u在(－∞,－1]上递减，222.(1,2]11322531xxyxxxyxfxxx求下列函数在的值域：又函数)(xf在R上为增函数，∴函数)1(xfy单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1x的单调性，)1(xfy与1x的单调性和单调区间相同．如果变函数)(xf在R上为减函数，那么函数)1(xfy的单调性与函数1x的单调性相反，即函数)1(xfy单调递增区间为(－∞,－1].又例设函数)(xf在R上为减函数，求函数)1(xfy单调区间．再例设函数)(xf在R上为增函数，且)(xf＞0，求证函数)(1xfy在R上单调递减．例6、求函数2612logxxfx的单调区间。解：令26txx，则0t32xx或，212524tx所以t在1,2上单减，在1,2上单增，所以t在2,上单增，t在,3上单减又12logtfx为减函数，所以fx在,3上单增，在2,上单减。例求y=122)21(xx的单调区间.解：设y=u)21(.由u∈R。u=x2－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.因为y=u)21(在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由x∈R,(复合函数定义域)x≤1，(u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.例求函数2)21(xy的单调区间解原函数是由外层函数uy和内层函数2)21(xu复合而成的；易知)0[，是外层函数uy的单调增区间；令02)21(xu，解得x的取值范围为]1,(；由于]1,(是内层函数2)21(xu的一个单调减区间，于是]1,(便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(是原函数的单调减区间。例求函数242xxy的单调区间.解原函数是由外层函数uy4和内层函数22xxu复合而成的；易知)0,(和),0(都是外层函数uy4的单调减区间；令022xxu，解得x的取值范围为)2,1(；结合二次函数的图象可知)2,1(不是内层函数22xxu的一个单调区间，但可以把区间)2,1(划分成内层函数的两个单调子区间]21,1(和)2,21[，其中]21,1(是其单调减区间，)2,21[是其单调增区间；于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]21,1(是原函数的单调增区间，)2,21[是原函数的单调减区间。同理，令022xxu，可求得)1,(是原函数的单调增区间，)