曲线坐标系

曲线坐标系胡友秋编著中国科学技术大学地球和空间科学学院中国科学院基础等离子体物理重点实验室i郑重声明：未经作者允许，不得以任何方式出版或翻印衷心欢迎：凡读过本材料者给作者提出批评建议(email：[e-mail])曲线坐标系胡友秋编著中国科学技术大学地球和空间科学学院中国科学院基础等离子体物理重点实验室（2008年3月初稿，2010年2月定稿）ii目录1．引言…………………………………………………………………………………………………11.1曲线坐标系.………………………………………………………………………………………11.2引入曲线坐标系的目的……………………………………………………………………………11.3本材料的主要内容…………………………………………………………………………………12．引入过程和基本参数……………………………………………………………………………………22.1坐标变换……………………………………………………………………………………………22.2基矢和逆基矢………………………………………………………………………………………22.3度规系数和度规张量………………………………………………………………………………52.4位移矢量的分解……………………………………………………………………………………62.5矢量的分解…………………………………………………………………………………………72.6与度规系数相关的两个恒等式……………………………………………………………………82.7弧元、面元和体元………………………………………………………………………………92.8基矢的代数运算…………………………………………………………………………………103.基矢的微分运算………………………………………………………………………………………103.1引言.……………………………………………………………………………………………103.2基矢的散度………………………………………………………………………………………113.3逆基矢的旋度……………………………………………………………………………………113.4标量的梯度.………………………………………………………………………………………123.5基矢的方向导数…………………………………………………………………………………124.张量的微分运算………………………………………………………………………………………144.1矢量散度…………………………………………………………………………………………144.2矢量旋度…………………………………………………………………………………………144.3矢量梯度…………………………………………………………………………………………144.4矢量梯度之梯度…………………………………………………………………………………154.5拉普拉斯算符……………………………………………………………………………………165.正交曲线坐标系……………………………………………………………………………………165.1定义……………………………………………………………………………………………165.2拉梅系数和单位基矢……………………………………………………………………………165.3弧元、面元和体元…………………………………………………………………………………185.4矢量和张量按单位基矢及其并矢展开…………………………………………………………185.5单位基矢的微分…………………………………………………………………………………195.6标量的梯度和方向导数…………………………………………………………………………215.7矢量的散度………………………………………………………………………………………215.8矢量的旋度………………………………………………………………………………………215.9拉普拉斯算符……………………………………………………………………………………226.具可忽略坐标的曲线坐标系…………………………………………………………………………256.1问题的提出………………………………………………………………………………………256.2可忽略坐标的数学定义…………………………………………………………………………256.3可忽略坐标对应的基矢…………………………………………………………………………256.4Killing矢量与黎曼曲率张量的关系……………………………………………………………266.5欧几里得空间Killing矢量的通解………………………………………………………………276.6由可忽略坐标基矢确定坐标……………………………………………………………………286.7具可忽略坐标的坐标系的类型…………………………………………………………………287.曲线坐标系的构建及张量微分运算举例……………………………………………………………297.1旋转椭球坐标系…………………………………………………………………………………297.2磁面坐标系………………………………………………………………………………………337.3任意曲面上面电流密度的二维散度……………………………………………………………388.任意坐标变换下的张量定义和张量运算……………………………………………………………448.1引言……………………………………………………………………………………………448.2张量的定义………………………………………………………………………………………468.3张量的代数运算…………………………………………………………………………………508.4张量的微分运算…………………………………………………………………………………528.5典型张量微分运算不变性的验证………………………………………………………………528.6狭义相对论中的正交线性变换…………………………………………………………………56-1-曲线坐标系1．引言有关曲线坐标系的参考书甚多，但往往篇幅大，涉及背景知识和数学概念多，不便非数学专业人员阅读和尽快掌握相关运算技巧*．本材料将简述曲线坐标系的基本知识和张量微分运算，重点放在运算技巧方面，略去严格繁琐的数学分析和论证，旨在给非数学专业人员提供一本关于曲线坐标系下张量微分运算的通俗读物．1．曲线坐标系我们限于三维位置空间．该空间作为“欧几里得空间”的特例，需要3个坐标进行描述．昀简单的坐标为直角坐标，由它们构成直角坐标系，又称“笛卡儿”坐标系．我们可以用直角坐标的3个彼此独立的连续可微函数作为新坐标，来取代3个直角坐标．新坐标的等值面一般为曲面，称为坐标曲面；不同坐标曲面之间的交线一般为曲线，称为坐标曲线．顾名思义，在某个坐标曲面上，对应坐标为常数，其余两个坐标可变；在某条坐标曲线上，对应坐标连续变化，其余两个坐标分别为常数．以上在直角坐标基础上引入的新坐标系，称为曲线坐标系．2．引入曲线坐标系的目的为何要引入曲线坐标系，而不统一使用昀为简单的直角坐标系呢？从物理角度考虑，大致可归纳为以下几个方面的原因：(1)使解域边界或解域内的间断面与某个坐标曲面一致，便于处理边界条件和边值关系．(2)便于针对物理问题的对称性质实现空间降维处理，把复杂的三维问题（因变量与全部3个空间坐标有关）转化为二维（仅与2个曲线坐标有关）甚至一维问题（仅与1个曲线坐标有关）．(3)便于处理介质的各向异性．反映介质各向异性的介质参量为三维二阶张量，且物理规律本身常常要求这些张量为对称张量．通过选择合适的曲线坐标系，可使得它们对角化，从而只出现3个对角元素，由它们完全确定相应张量的性质．以磁化等离子体为例，它在平行和垂直于磁场方向的物理性质截然不同，相应出现的热传导系数、电导率、粘制系数乃至等离子体压强均为张量．在这种情况下，可直接将磁力线选为一条坐标曲线，并选择其余两个坐标，共同构成正交曲线坐标系（其3个基矢彼此正交）．以下将这样构成的坐标系称为“磁力线坐标系”．在该坐标系中，上述张量将转化为对角张量，仅含3个对角元素．进一步，在这3个对角元素中，垂直方向上的两个元素一般相等，体现了该方向上的各向同性性质，以致独立元素的数目进一步缩减为2个．我们既可直接使用磁力线坐标系，也可以使用别的曲线坐标系S．对于后者，可通过磁力线坐标系和S系之间的变换关系，将对角化张量变换至S系中；经变换之后的张量虽可能出现9个非零分量，但其中只涉及2个独立参数，它们即为变换之前的张量的2个独立对角元素．3．本材料的主要内容(1)介绍曲线坐标系的基本知识．(2)给出曲线坐标系下的物理场张量的微分运算公式并介绍运算技巧．(3)定义可忽略坐标，讨论具可忽略坐标的坐标系的可能类型．*近年出版的若干张量分析的通俗读物提到曲线坐标系，便于阅读，参见本材料末尾提及的3本具代表性参考书．-2-(4)举例说明曲线坐标系中的张量微分运算步骤和基本技巧．(5)任意坐标变换下的张量定义和张量运算．本材料的读者只需具备场论、微分（含隐函数微分）和线性代数方面的基本知识，就能通过自学掌握本材料的全部内容；在学习过程中，应完成和重复全部推导过程，从中训练和熟悉计算技巧．2．引入过程和基本参数1．坐标变换设),,(zyx为三维位置空间的直角坐标，按下式确定曲线坐标：)3,2,1(),,,(==izyxxxii(2.1)要求变换函数为单值的连续可微函数，且变换的雅可比式满足,,0),,(),,(321∞≠∂∂≡zyxxxxJ(2.2)以确保曲线坐标)3,2,1(=ixi之间相互独立，变换非奇异，同时可以将式(2.1)反演，获得yx,和z与曲线坐标的函数关系，确保这些函数也是单值的连续可微函数．值得说明的是：允许变换式(2.1)在个别点、线和面上出现奇异性，即在这些局地奇异位置上∞=,0J，或坐标出现多值．曲线坐标系存在局地奇异性，对其必须进行特别处理．此外，我们对曲线坐标采用上标记法．对下面即将定义的三维矢量和各阶张量，其分量也通过上标或下标表示，其中上标表示“逆变”指标，下标表示“协变”指标，可通过熟背“上逆下协”将这一约定记住．2．基矢和逆基矢(1)几何表述如图1所示：过空间任意点P作出3个坐标曲面，它们的3条交线即为坐标曲线．针对P点定义基矢和逆基矢如下：基矢为相应坐标曲线的切向矢量，由粗实线箭头表示，记为)3,2,1(=iie；逆基矢为坐标曲面的法向矢量，由细实线箭头表示，记为)3,2,1(=iie．记住基矢编号为下标，逆基矢编号为上标，满足“上逆下协”的约定．注意上述关于基矢和逆基矢指向的定义均是针对考察点P而言的；考察点位置不同，一般将导致基矢和逆基矢的指向变化．因此，基矢和逆基矢均是空间位置或空间坐标的函数．此外，我们尚未就基矢和逆基矢的长度作出规定，这一问题留待下面解决．这里只强调一点，基矢和逆基矢不必图1基矢和逆基矢的指向x3e1x2x1e2e3e3e1e2-3-为单位矢量．(2)数学定义如前所述，沿ix坐标曲线仅ix本身变化，其余两个坐标维持常数不变（读者可类比直角坐标：沿x轴仅x变化，y和z维持不变）．用直角坐标下的位置矢量zyxzyxeeer++=(2.3)表示沿ix坐标曲线任意一点的位置，式中xe、ye和ze为沿3个直角坐标轴方向的单位矢量；则该位置矢量应是ix的单值连续可微函数．于是，我们可视ix为“参数”，采用直角坐标将坐标曲线写成如下参数形式：).(or);(),(),(iiiixxxyxyyxxxrr====(2.4)该曲线的切向矢量与ix∂∂/r平行，将后者定义为基矢：)3,2,1(,=∂∂=ixiire(2.5)由条件式(2.2)可知，)3,2,1(=iie彼此独立（或非共面），但不一定相互正交，且一般不是单位矢量，即其长度一般不等于1．作为坐标曲面的法向矢量，逆基矢可由基矢导出，基本思路如下．一个坐标曲面通过两条坐标曲线，相应两条基矢恰好与坐标曲面相切．于是我们可由两基矢的矢积去定义逆基矢．先让