2017年中考专题复习讲义三角形和全等三角形

WUMENGWUMENG1【中考考点梳理】考点一全等三角形的概念与性质1．概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形．温馨提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DBC．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等．3．常见全等三角形的基本图形(1)平移全等型(2)翻折全等型(3)旋转全等型WUMENGWUMENG2考点二全等三角形的判定1．全等三角形的判定方法方法2两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS所有三角形方法3两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA所有三角形方法4两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS所有三角形方法5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL直角三角形温馨提示：1．方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中一边的对角对应相等”，则不能判定两个三角形全等．2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等．2．全等三角形的判定思路说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行．已知两边找夹角→SAS找第三边→SSS找直角→HL已知一边和一角边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找其中一个已知角的对边→AAS考点三角平分线的性质定理及其逆定理)1．性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．方法内容符号适用范围方法1三边对应相等的两个三角形全等SSS所有三角形WUMENGWUMENG3即如图，∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.2．性质定理的逆定理：角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．即如上图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP是∠AOB的平分线．温馨提示：应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化，所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定理解决问题．考点四线段垂直平分线的性质与判定1．定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2．性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3．性质定理的逆定理：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例1】(2015·温州)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．【思路点拨】(1)由AB∥CD，可得∠B＝∠C，再有AE＝DF，∠A＝∠D，可得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质可证；(2)通过等量代换得到△DCF为等腰三角形，且∠C＝∠B＝30°，再通过三角形内角和求得∠D的度数．【自主解答】(1)证明：∵AB∥CD,∴∠B＝∠C．∵AE＝DF，∠A＝∠D,∴△ABE≌△DCF(AAS)．∴AB＝CD．(2)解：∵AB＝CF，AB＝CD，∴CD＝CF，∴∠D＝∠CFD．∵∠B＝∠C＝30°，∴∠D＝75°.方法总结：判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相WUMENGWUMENG4等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．【变式训练】1、如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN的度数．(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.又BM＝CN，∴△ABM≌△BCN.(2)解：∵∠APN是△ABP的一个外角，∴∠APN＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝（5－2）×180°5＝108°.2、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，WUMENGWUMENG5∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．3、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCEB．AF=ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；WUMENGWUMENG6（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选（B）4、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为（3，4）或（\frac{96}{25}，\frac{72}{25}）或（﹣\frac{21}{25}，\frac{28}{25}）．【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．【解答】解：如图所示：①∵OA=3，OB=4，∴P1（3，4）；②连结OP2，设AB的解析式为y=kx+b，则，解得．故AB的解析式为y=﹣x+4，则OP2的解析式为y=x，WUMENGWUMENG7联立方程组得，解得，则P2（，）；③连结P2P3，∵（3+0）÷2=1.5，（0+4）÷2=2，∴E（1.5，2），∵1.5×2﹣=﹣，2×2﹣=，∴P3（﹣，）．故点P的坐标为（3，4）或（，）或（﹣，）．故答案为：（3，4）或（，）或（﹣，）．【例2】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(A)A．6B．5C．4D．3【思路点拨】过点P作PE⊥OB于点E，由角平分线的性质易得PE的长．方法总结：题目中若有角平分线这一条件，常考虑2倍角关系或添加垂线段，利用角的平分线的性质定理求角度或证明线段相等或计算线段长度．【变式训练】1、如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为．WUMENGWUMENG8【解析】∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝100°，∠BAO＝40°，∴∠DAO＝140°.∵AD＝AO，∴∠D＝20°.∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO＝∠BCO.在△COD和△COB中，CD＝CB，∠OCD＝∠OCB，OC是公共边，∴△COD≌△COB，∴∠D＝∠CBO.∴∠CBO＝20°，∴∠ABC＝40°，∴∠BCA＝60°.【答案】60°2、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，WUMENGWUMENG9在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．【例3】如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，WUMENGWUMENG10∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．【变式练习】1、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．WUMENGWUMENG11（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠E