第2章习题答案

第2章习题答案（毕岗编写）  第2章 2‐1 半径为a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为ρr，r为圆盘上任意点到圆心的距离，求圆盘上的总电量。 解：Qρ·rdφdrSr·dr·dφ。   2‐2 半径为a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为Q，若该球以角速度ω绕其自身的任意中轴旋转，求球体内的体电流密度。 解：JVφ。  2‐3 无限薄的导电面放置于z0平面内的00.05的区域中，流向y方向的5A电流按正弦规律分布于该面内，在x0和x0.05m处线电流密度为0，在x0.025m处线电流密度为最大，求JS的表达式。 解：电流分布如下图所示： xyz00.0250.05Js=5A/mJs JS5sin.。  2‐4 三根长度为l、电荷均匀分布、线密度分别为ρ，ρ和ρ的线电荷构成的等边三角形，设ρ2ρ2ρ，计算三角形中心处的电场。 解：E√， 由电荷密度关系可知： 2|E||E||E|， |E|2E，|E|E，|E|2E， 因此，EEE0。        第2章习题答案（毕岗编写）   2‐5 两无限长的同轴圆柱壳面，半径为a和b，内外导体上均匀分布电荷，密度分别为ρS，ρS，求r，a，r时各点的电场及两导体间的电压。 解：用高斯定理求Er。做高斯面（闭合面），∵轴对称∴高斯面为圆柱闭合面，为左图所示①Er1（r＜a,内导体内）  设导体为理想导体，则E1=0； ②Er2（a＜r＜b，内导体与外导体之间圆柱空间） ∵同轴无限长,∴圆柱侧面（高斯面）上E2处处相等，且Er只有ρ方向分量d矢量为高斯封闭面的外法线ndsns))r,= Er2·dsr: 上下底面：Er2·dsr=0（∵Er2⊥dsr，cos90°=0） 侧面：Er2·dsr=E2·ds（∵Er2∥dsr，cos0°=1） 010222222επρεπρalQlEdSEdSESdEsS=====⋅∴∫∫∫∫∫∫侧侧vv ∴ρρερˆ012aEs=r ③3Er( r＞b，外导体壳外) E32πlρ=0212επρπρblalss+        ∴3Er=ρρερρˆ021bass+ （2）两导体内电压abV abadadEdEldEVsbasbababaabln10101ερρρερρρρρ===⋅=⋅=∫∫∫∫rrrr 当r时，E0；当a时，ESSr，UE·drρSaρSbεln。 ﹢∞ b   a nˆ2Er Er1 ιnˆnˆ－∞ 高斯面 第2章习题答案（毕岗编写）  2‐6 半径为a的球中充满密度为ρr的电荷，已知电场为ErAr，raaAar⁄，r，球电荷密度ρr。 解：利用高斯定理的微分形式，即▽0/ερ=⋅Er，在球坐标系中，可得 )(12200rErrrE∂∂=⋅∇⋅=εερr⑴在r≤a的区域[])45()(12023220ArrArrrrr+=+∂∂=εερ⑵在r＞a的区域[]0/)(124522=+∂∂=rAaarrrρ⑶求r=a处的sρ。直接利用边界条件0)()(230230=+−+=−=−+=AaaAaaDDrrarsεερ 结论：当ra时，ρ·Dε·E5εr4Ar； 当r时，ρ·Dε·E0。  2‐7 半径为a和ba的两个同心导体球面，球面上电荷分布均匀，密度分别ρS、ρS，应用高斯定理求任意r点的电场及两导体间的电压。 解：当r时， E·dSρ·dvV0，E0； 当arb时， E·dSρ·dvVS，ESr， 当rb时，E·dS4πaρS4πbρS， EaρSbρS， UE·dlS。  2‐8 一个半径为b的球体内充满密度为ρbr的电荷。计算球内和球外任一点的电场强度和电位。 解：当r时，q，Eρ·dvVr； 当r时，Eρ·dvVr。  第2章习题答案（毕岗编写）  2‐9 一个半径为a的薄球体壳内表面涂履了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又冲了电量为Q的电荷。已知内部的电场为Er，计算：1球内电荷分布；2球的外表面电荷分布；3球壳的电位；4球心的电位。 解：1EVV·dV·rr 即VV·dV·rr，得 ρVr； 2QρSr·dSSρSr·4πa， ρSQ； 3rQ； 4。  2‐10 电场中有一个半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位为0，ra；Arcosφ，ra，1求圆柱内外的电场强度；2这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之。 解：1因为0，r；Arcosφ，ra，所以r时，E0； 当ra时，E·，     EA1cosφArsinφ 2圆柱体是由导体材料制成的，表面上又电荷 ρnεE|2εAcosφ。  2‐11 求一点电荷q放在无限大、均匀、线性、各向异性电介质中，介质相对介电常数为ε。求电介质中的D，E，P。又问D，E，P是否均匀？其极化电荷体密度ρ如何？ 解：Er， DεεEr， Pεε1Er， E、D、P是按照离q的距离变化的，是不均匀的。 ·P0r0，·P0。  2‐12 证明在均匀、线性、各向同性电介质的任何一点上，若自由电荷ρ0，则束缚电荷第2章习题答案（毕岗编写）  ρ0。 证明：pql0，PNp0，ρ·P0。  2‐13 半径分别为a和ba的同心导体球壳之分布着密度为ρar⁄的自由电荷，求电场和电位分布。如果外导体球壳接地，问电位电场有无变化？ 解：E·dSVdv， E， 接地后： E·dr E·draln， 接地前，无穷处电位为零 E·dr∞发散。  2‐14 电场中有一半径为a的介质求，已知ErcosθaE，ra，aE，ra验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。 解：边界条件：||，εε E·Ercosθθsin， Pε1εErcosθθsin， ρP·nεEcosθ。  2‐15 设y0平面是两种介质分界面，在y0的区域内，ε5ε而在y0的区域内，ε3ε。如果已知E10x20y，求D，D和E。 解：如果ε3ε，ε5ε DεEx50εy100ε， EEx10， DDy100ε， DDDεEDx30εy100ε。EEEx10y33.3 假设ε5ε，ε3ε DεEx30εy60ε， EEx10， DDy60ε， DDDεEDx50εy60ε。EEEx10y12 第2章习题答案（毕岗编写）   2‐16 平行板电容器的长和宽分别为a和b，板间距离为d。电容器的一半厚度0~d2⁄用电介质ε填充。板外加电压U，求板上的自由电荷面密度、极化电荷密度和电容器的电容量。 解：ε,εε      εE=εE， d1 E1+ d2 E2 =U         1=,  = ,=  1）平行板电容器上面板的自由电荷面密度为    ρup= ·=,      ρup= , 平行板电容器下面板的自由电荷面密度为    ρdown= ·=, 2）平行板电容器上面板的极化电荷面密度为    ρupp= ·=,,    ρupp=  平行板电容器下面板的自由电荷面密度为    ρdown=0 3）  平行板电容器的电容量为 QρS, CU2‐17 一点电荷q放在成60°导体角内的x1，y1点，1求出所有镜像电荷的位置和大小；2求x2，y1点的电位。 解：11，1，√2sin75°，√2cos75°，√2sin75°，√2cos75°， 2r1，0，r1，2，r2√2sin75°，1√2cos75°，r2√2sin75°，1√2cos75°，∑||。  2‐18 两靠近地面的带等量异号电荷的导体小球，球心在垂直地面的一直线上，两球心相距h，下面球的球心与地面相距H，两球半径分别为r和r，设r，r比h，H小得多，即带电小球在产生场时近似看成点电荷，求两小球的电容。 解：，C4πh，，C4πh。  2‐19 接地导体球，半径为a，其外P点处有一点电荷q，P点与球心距离为h。试求P点可见的那部分球面上的感应电荷与剩余部分球面上的感应电荷之比。 解：求导体上任一点的电位中，且0接地 q4πrεq4πrε0 由余弦定理，得 U E1 E2 第2章习题答案（毕岗编写）  rah2hacosθ， rah2adcosθ， 对球外任一点电位为 rrh2hrcosθ， rrh2rdcosθ， 导体球面内的感应电荷面密度ρS ρS， 感应电荷之比 见余。 2‐20 两个偏心球面，半径分别为a和b，球心分别为Q和Q´，其偏心距QQ´ddb，两球面之间分布着均匀的体密度为ρ的自由电荷。求小球面内r´的场分布。若ρ换成非均匀的ρrar⁄r为从Q出发的球半径，问r´内的场还能借助高斯通量定理求解吗？ 解：设大球内的电荷分布为ρ，小球体电荷为ρ， 对于大球，由高斯通量定理，得 E·dSS1ερ·dVV E。 对于小球，由高斯通量定理，得 E‘·dSS1ερ·dVV E‘。 EEE‘。 若ρ换成非均匀的ρrar⁄r为从Q出发的球半径，不能借助高斯定理。  2‐21 一带电量为q，质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下，与平面相距为h，应用镜像法理论求电荷q的值，使带电体上受到的静电力恰好与重力想平衡。设m210kg，h0.02m。 解：mg， 210， q3610πεh q0.012√πε。  2‐22 一点电荷q放置在一个半径为b的导体球附近，与球心相距为R，球未接地，原先也未充电。证明球对点电荷的吸引力为()22222303224aRaRRaqF−−=πε 第2章习题答案（毕岗编写）  解：由于导体球不带电，则镜像电荷有两个，一个位于P2点上的q’,它离球心O的距离为 Rad2=,另一个位于球心O处的q’’。 这两个镜像电荷值分别为 qRaq−='，qRaq='' 根据库仑定律 球受到点电荷的作用力为 ()()()()23022230232022020)2(4144'41''41'''dRddRRaqdRRRaqRaRdRaqdRqqRqqFFF−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅+⋅=+=πεπεπεπεπε 将Rad2=代入得： ()222223032222230224)2(4aRaRRaqRaRRaRaRRaqF−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=πεπε 得证！   2‐23 两点电荷Q和Q位于一个半径为a的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心为D和D。证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，且偶极矩为2aQD⁄。  2‐24 圆柱形电容器外导体内半径为b，当外加电压固定式，求使电容器中的电场强度取最小的内导体半径a的值和这时电容器中电场强度的最小值。 解：E，uln，ρ， 当ra时，E，Euln1， 要使Emin，则 此时E。   2‐25 同轴电容器内导体半径为a，外导体内半径为b，a´b´部分填充电容率为ε的电介质，求单位长度的电容。 解：设内外导体表面上分别带有电量η和η，在介质内部，作高斯面，由高斯定理可得 aθP2P1 Rdq'’q'q 第2章习题答案（毕岗编写）  非介质内部，作高斯面，由高斯定理得 EρEη2πεερ 非介质内部b´b，作高斯面 EρEρ， Udρ´dρ´ln´ln´， CU´´。   2‐26 平行板电容器板间距离为d，面积为S，在它的极板间放进一块面积为S、厚度为t的介质板相对电容率为ε，求电容量。 解：ε,εε      εE=εE， tE1+ (d‐t)E2 =U         =,  = ,=  平行板电容器上面板的自由电荷面密度为    ρup= ·=,      ρup= ,  平行板电容器的电容量为 QρS, CU CqU//  2‐27 有一半径为a、带电量为q的导体球，其球心位于两种介质的分解面上，此两种介质常数分别为ε和ε，分界面可视为无限大平面。求:1球的电容；2总静电能。 解：1u，u，C2πεa，C2πεa， CCC2πaεε， uC； 2W∑q。  2‐28 证明单位长度同轴线说储存的电场能量有一半是在r√ab的介质区域内。其中a，b分别同轴电缆内外导体的半径。 证明：对于圆柱体有EL，uLln， U E1 E2 第2章习题答案（毕岗编写）  W12uqqρL4πεlnba， 在r√ab内 uE·dr√E·dr√Lln√Wuqln， W´uqLl