2.3.1抛物线及其标准方程教案

2.3.1抛物线及其标准方程（第一课时）教学过程首先请同学们欣赏几张图片.这几张图片共同点是什么？漂亮！都有抛物线！生活中处处有数学啊.在初中，我们学习了二次函数2(0)yaxbxca，知道它的图象是一条抛物线，例如：（1）24yx，（2）24yx的图象（展示两个函数图象）：师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书课题：2.3.1抛物线及其标准方程）一、复习引入我们先思考一个问题思考1:求轨迹方程的一般步骤是什么？建系——设点——列式（限制条件）——代换——化简.建、设、限、代、化思考2:点M与定点(0,2)F的距离和它到定直线2y的距离相等，则点M的轨迹方程是什么？师：请同学们动笔算一算2222,)2,,2(2),=81.8MxyyddMFyxyxyMyx解：设点（到定直线的距离为则即化简可得，即点的轨迹为抛物线，方程为二、新知探究1、抛物线的定义师：进一步思考思考3：若一个动点(,)Mxy到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？师：有人说是抛物线？为什么呢？我们用几何画板来一起探讨以下.用几何画板展示，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹。你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有,MFMH即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等。我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.（板书定义）.定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？经过点F且垂直于l的直线.师：抛物线的方程是什么？仿照刚才的方法，我们来求解解：取过点F且垂直于l的直线为x轴，垂足为K，线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系0xy.设||(0)FKpp，点F的坐标为)0,2(pF，2:pxl，因为,MFMH即|2|)2(22pxypx平方化简222)2()2(pxypx可得22(0)ypxp2、推导抛物线的标准方程我们把方程22(0)ypxp叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，焦点坐标是,02p，准线方程是2px.（其中P表示焦点到准线的距离，书写的时候注意二次项在左，一次项在右）（板书）。师：椭圆的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者向下，其对应的方程又如何了呢？请同学们思考，完成学案上的表格抛物线的四种标准形式：让学生上台写图形标准方程开口方向焦点坐标准线方程22ypx(0)p右（x轴的正方向）,02p2px)0(22ppxy左（x轴的负方向）)0,2(p2px)0(22ppyx上（y轴的正方向）)2,0(p2py)0(22ppyx下（y轴的负方向）)2,0(p2py观察表格总结：抛物线的标准方程的特点：（1）都过原点；焦准距为(0)pp，表示焦点F到准线l的距离；半焦距等于一次项系数绝对值的41，即242pp（2）左边为二次，右边为一次。对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；（对称轴看一次项）（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向。（一次项系数正负决定图像开口方向）接下来我们通过几个例题来看看如何利用抛物线定义与标准方程来解题。三.新知应用例1（1）已知抛物线的标准方程是26yx，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是0,2F，求它的标准方程.分析：（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p的值得到焦点坐标和准线方程.（2）先判断焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p，进而写出方程.解：（1）因为3p，所以抛物线的焦点坐标为3,02，准线方程为32x.（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为28xy.变式:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）22+5=0;yx55,0;88x焦点，准线（2）280.xy0,22.y焦点，准线特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程,数形结合！四、跟踪练习：（试一试，你一定能行）1．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是30;F，（2）准线方程是14x;（3）焦点到准线的距离是2.答案：（1）212yx;（2）2yx;（3）2244.yxxy或奎屯王新敞新疆（4）顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点A-2，3，则抛物线的方程是．2294==23yxxy或22111222(0)922(0),(23)4394==23Aypxpxpypyxxy解：因为点-2，3在第二象限，所以设抛物线方程为或把点，分别代入，解得p=,p，故所求抛物线方程为或五、拓展练习(10)1,yMFyM1.若位于轴右侧的动点到，的距离比它到轴的距离大求点的轨迹方程.2(10)1(10)114(0).MFyMFxMFxMyxx解：由于到，的距离比它到轴的距离大，故动点到，的距离与它到直线的距离相等.由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不含原点)，故点的轨迹方程为2.设P是抛物线24yxF上的一个动点，为抛物线的焦点.1212:4360:11137516lxylxPll(1)已知直线和直线，则到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.(2)求点P到点(1,1)A的距离与点P到直线1x距离之和的最小值.(3)若点B的坐标为(3,2)，求PFPB的最小值.六、课堂小结请同学们回顾一下本节课学了些什么内容，然后请一位同学起来回答让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：1．抛物线的定义；2．抛物线的标准方程、几何图形；3.待定系数法，数形结合的思想.七、作业布置课时作业十五八、板书设计§2.3.1抛物线及其标准方程一、抛物线的定义二、抛物线的标准方程投影屏幕例题及练习