4.8-多元函数的极值及其求法

高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室1第八节多元函数的极值及其求法教学目的：(1)理解多元函数极值和条件极值的概念；(2)掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值；(3)会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。教学重点：多元函数极值的求法教学难点：用拉格朗日条件极值求最大值应用问题教学方法：讲练结合教学时数：2课时一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出yx4570瓶本地牌子的果汁，yx7680瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx求最大收益即为求二元函数的最大值.二、多元函数的极值及最大值、最小值1、二元函数极值的定义：定义8.1设函数(,)zfxy在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式00(,)(,)fxyfxy，则称函数在),(00yx有极大值00(,)fxy；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值00(,)fxy；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例如：(1)函数2243yxz在)0,0(处有极小值；(2)函数22yxz在)0,0(处有极大值；-0.500.5-0.500.500.511.52-0.500.5-2-1012-2-1012-4-3-2-10-2-1012-2-1012高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室2(3)函数xyz在)0,0(没有极值．2、多元函数取得极值的条件：定理8.1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.(证明略)推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：极值点为驻点；驻点不一定是极值点．例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理8.2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在),(00yx处：（1）当02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）当02BAC时没有极值；（3）当02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．(证明略)例1求339zxyxy的极值．解（1）这里33(,)9fxyxyxy,2(,)39xfxyxy,2(,)39yfxyyxxyxfxx6),(,(,)9xyfxy,yyxfyy6),(．（2）解方程组-2-1012-2-1012-4-2024高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室322390390xyyx得驻点(3,3),)0,0(．（3）关于第一个驻点(3,3),有22(9)63632430BAC且180.A因此,),(yxf在点(3,3)取得极小值(3,3)27f．关于第二个驻点)0,0(,有22(9)00810BAC因此,),(yxf在点)0,0(不取得极值．▲求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步:解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步:对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步:定出2BAC的符号，再判定是否是极值.练习:求由方程yxzyx222220104z确定的函数),(yxfz的极值．解：将方程两边分别对yx,求偏导0422204222yyxxzzzyzzzx由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(P,将上方程组再分别对yx,求偏导数,,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx故)2(0)2(122zzACB,函数在P有极值.将)1,1(P代入原方程,有6,221zz,当21z时，041A,所以2)1,1(fz为极小值；当62z时，041A,所以6)1,1(fz为极大值.3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.▲求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例2求二元函数高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室4)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解：先求函数在D内的驻点，解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy比较后,可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.在通常遇到的实际问题中，如果根据实际问题的性质，知道函数),(yxf的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数),(yxf在D内只有一个驻点，则该驻点就是函数),(yxf在D内取得最大值(最小值)的点.例3用铁皮制造一个体积为22m的有盖立方体水箱，问怎样选取它的长、宽、高才能使所用材料最省？解设立方体的长、宽分别为,xy，它的高为2xy．立方体的表面积为22222sxyxyxyxy222xyxy求导,得242xsyx242ysxy令0,0xyss,解得驻点为33(2,2)．根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即长、宽、高都为32时，所用材料最省．三、条件极值、拉格朗日乘数法无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带xyo6yxD高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室5达到最佳效果，效果函数yxyxUlnln),(．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求yxyxUlnln),(在条件200108yx下的极值点．条件极值：对自变量有附加条件的极值．1.可将条件极值转化为无条件极值如上例，从条件200108yx解出2008,10xy代入效果函数yxyxUlnln),(,得2008()lnln10xxx,化为无条件极值问题。2.拉格朗日乘数法先找目标函数),(yxfz在约束条件0),(yx下取得极值的必要条件.分析:若函数),(yxfz在点00(,)xy取得所求的极值，则00(,)0xy,(1)假设(,)fxy与(,)xy在点00(,)xy的某邻域内均具有一阶连续偏导数，且00(,)0.yxy由隐函数定理可知：方程0),(yx确定一连续且具有连续导数的函数(),yyx代入),(yxfz，得(,())zfxyx(2)于是函数),(yxfz在点00(,)xy取得所求极值，相当于函数(,())zfxyx在点0xx处取得极值。所以000000(,)(,)0.xyxxxxdydzfxyfxydxdx(3)由0),(yx可得00000(,),(,)xxxyxydydxxy代入(3)，得00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyxyfxyfxyxy(4)(1)和(4)就是函数),(yxfz在条件0),(yx下在点00(,)xy取得极值的必要条件.记0000(,),(,)yyfxyxy则上述必要条件就变为0000000000(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxyyfxyxyfxyxyxy,(5)高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室6若引入辅助函数(,,)(,)(,),Lxyfxyxy(6)则极值点满足:0000000000(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxxyyyLfxyxyLfxyxyLxy即(5)式中的点00(,,)xy是(,,)Lxy的驻点。函数(,,)Lxy称为拉格朗日函数，参数称为拉格朗日乘子.拉格朗日乘数法：要求函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点,（1）构造Lagrange函数(,,)(,)(,)Lxyfxyxy；（2）令(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxxyyyLfxyxyLfxyxyLxy（3）解(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxxyyyLfxyxyLfxyxyLxy解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.说明：此法可推广到多自变量，多条件情形.要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.例4将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解：令)12(),,(23zyxzyxzyxF，则223323020012xyzFxyzFxyzFxyFxyz解得唯一驻点)2,4,6(，而所求问题确实存在最大值,故最大值为.691224623maxu例5在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设),,(000zyxP为椭球面上一点,令1),,(222222czbyaxzyxF,高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室7则202|axFPx，202|byFPy，202|czFPz过),,(000zyxP的切平面方程为)(020xxax)(020yyby0)(020zzcz,化简为1202020czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为02xax，02yby，02zcz,所围四面体的体积000222661zyxcbaxyzV,在条件1220220220czbyax下求V的最小值,令,lnlnln000zyxu),,(000zyxG000lnlnlnzyx)1(220220220czbyax,由0002220002220,0,0,10xyzGGGxyyabc得01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx从而000333axbycz