数学建模--四人追击问题-论文

一、对《数学实践与建模》课程的讲义、授课内容、授课方式等的看法、建议：还没开始上这门课的时候，我就经常听到数学建模这个词，谁谁谁参加数学建模比赛了之类的。当时并没有多想，感觉数学建模什么的估计就是类似奥数竞赛一类的解难题吧。没想到这学期开了这门课，通过这门课让我对数学建模有了一个更清晰直观的认识。这么几周的课上下来，我觉得这门课还是很有意思的，对于这门课，我有一下一些建议：1、第一节课可以先去机房上一次实验课，让大家先试试手，这样利于后期课堂教学的开展；2、可以建立一个QQ群，让大家相互讨论，这样也可以充分利用好那些有数学建模基础同学的资源；3、大家自己弄MATLAB软件不是太方便，希望学校或者老师在软件的获取上给予一定的帮助；4、实验课的时候进行分组，一个基础好的同学和几个没什么基础的同学为一组，这样可以提高整个小组成员的学习效率。有的建议可能不好实施，所以以上是我从个人想法观点出发的几点小建议。二、题目：四人追逐实验三、摘要：这是一个关于动态追击的问题，每个人都在运动，而且每个人的运动状态是相同的。问题主要在于，每个人的运动状态都在时时刻刻改变着，这是分析这个问题的关键点。通过初步判断，四个人最终会相遇在同一点，并且四个人的运动具有对称性，我们可以通过使追及过程离散化的方法来模拟四人的追及过程，即以极短的时间段为间隔，逐步分析四人的运动状况。四、问题重述：在正方形ABCD的四个顶点各有一个人。设在初始时刻时，四人同时出发匀速以沿顺时针走向下一个人。如果他们始终对准下一个人为目标行进，最终结果会如何。作出各自的运动轨迹。五、模型假设：1、将四个人看成质点a、b、c、d，设他们的初始位置分别为(0,0)(即坐标原点O)、(0,1)、(1,1)、(1,0)，如图1所示。2、假设某人追上其目标的要求是该者与其目标间的距离足够小。我们不妨将该临界距离设为0.005个单位（该值为初始距离的0.5%）。3、假设当中a、b、c、d某人已追到其目标时，该追及活动终止，即运动结束。若此时恰巧其他三人也追到各自目标，则称这种情况为四人追到一起。否则的话，称四人不能追到一起。4、在追及过程中，四人可以在正方形区域内进行运动，并不是只能在正方形的边长上运动。5、在开始运动时和追及过程中，每个人时刻朝着目标运动不受限制。6、根据分析，可以假设连续的时间被分为多个极小且等长的时间段。又因为时间间隔极短，所以四人在时间内的运动均可视为直线运动。六、模型的建立与求解：本题求解的关键在于运用算法求出若干个dt时间后a、b、c、d四人的位置坐标，并计算相应追逐者间的距离。记经过k个dt时间后，a、b、c、d位置点分别为kA、kB、kC、kD。故本题转化为求kA、kB、kC、kD的坐标，以及kkBA、kkCB、kkDC、kkAD的值。下面，逐步分析四人的运动状况。0A1B2B3B4B5B4A5A3A2A1D0C0D1A1C2C2D3C3D4C4D5C5D0Bxy①运动开始时，a、b、c、d四人同时分别朝着各自目标沿向量00BA、00CB、00DC、00AD的方向运动。②经过1个dt时间后，a由0A运动到1A,b由0B运动到1B，c由0C运动到1C，d由0D运动到1D。③此时a、b、c、d都要转变方向同时分别沿向量11BA、11CB、11DC、11AD方向追及b、c、d、a。④经过2个dt时间后，a、b、c、d又分别由1A、1B、1C、1D运动到2A、2B、2C、2D。⑤此时a、b、c、d需再次调整方向同时分别沿向量22BA、22CB、22DC、22AD方向追及b、c、d、a。⑥照此循环下去，直到某两者之间的距离足够小，即这时两个人追到一起，该程序活动终止。以上过程如图2所示。因此，我们可以用向量递推的方法来求出kA、kB、kC、kD的坐标,即向量kOA、kOB、kOC、kOD的坐标。记a、b、c、d四者的速率分别为1v、2v、3v、4v。00BA=0OB-0OA;00CB=0OC-0OB00DC=0OD-0OC;00AD=0OA-0OD通过对1个dt时间、2个dt时间、3个dt时间一直到k个dt时间后的分析，可以得到：11111111kkkkkkkkkBABAdtvOAAAOAOA11112111kkkkkkkkkCBCBdtvOBBBOBOB11113111kkkkkkkkkDCDCdtvOCCCOCOC11114111kkkkkkkkkADADdtvODDDODODkkBA=kOB-kOA;kkCB=kOC-kOBkkDC=kOD-kOC;kkAD=kOA-kOD所以接下来我们可以进行MATLAB的编程。MATLAB程序如下：clear;clf;A=[0,0];B=[0,1];C=[1,1];D=[1,0];k=0;dt=0.004;v=1;grid;holdon;axis([0101]);00.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91whilek10000k=k+1;plot(A(1),A(2),'g.');plot(B(1),B(2),'r.');plot(C(1),C(2),'y.');plot(D(1),D(2),'b.');e1=(B-A)/norm(B-A);A=A+v*dt*e1;e2=(C-B)/norm(C-B);B=B+v*dt*e2;e3=(D-C)/norm(D-C);C=C+v*dt*e3;e4=A-v*dt*e1-D;d4=norm(e4);e4=e4/d4;D=D+v*dt*e4;d1=norm(B-A);d2=norm(C-B);d3=norm(D-C);d4=norm(A-D);fprintf('k=%.0fd1=%.4fd2=%.4fd3=%.4fd4=%.4f\n',k,d1,d2,d3,d4);fprintf('A(%.2f,%.2f)B(%.2f,%.2f)C(%.2f,%.2f)D(%.2f,%.2f)\n',A(1),A(2),B(1),B(2),C(1),C(2),D(1),D(2));ifd1=0.005breakendifd2=0.005breakendifd3=0.005breakendifd4=0.005breakendpause(0.01)end最终获得的图像如下图所示:七、结论与分析：该实验建立在我们事先做好的假设的基础上进行，结论也和我们最初的判断相吻合。同时通过这个实验，我们还可以看出，数学无处不存在着美，那是一种均衡、自然、对称的美。