数学建模--超市进货

1超市单个商品最佳进货方案问题刘鑫、王帅、周洪201201903000220120190300192012019030017===========================================(目录)一问题的提出--------------------------------------------------------1二问题的假设--------------------------------------------------------2三模型的建立及问题分析------------------------------------------4四模型的评价----------------------------------11五参考文献-----------------------------------------------------------12==================================================一．问题的提出商家在考虑怎样进货的时候往往会想到很多因素，制定一条良好的进货方案，这也是一个比较棘手的问题。这不仅要能最大的满足商家自己的利益，又要满足广大顾客的需求。商家的良好的进货策略不仅可以满足顾客的需要，而且可以使商家获取最大利润。然而不合理的进货策略一方面可能使货物堆积，造成浪费；另一方面，进货量不足无法满足消费者需求。最终导致商家利润减少甚至亏损。所以我们不禁要问怎样的进货策略才可以既满足顾客的需要，又保证商家自己获得最大利润？现在,不妨只考虑其中一种商品2的销售和进货情况，从而确定最佳进货策略。二问题的假设分为A、B、C三种情况，A．假设需求是随机的，不考虑中断（缺货）损失的情况下，我们所假设的模型具有以下特点：1．不允许缺货，或缺货损失费为无穷；2．当库存降为零后，可以立即得到补充；3．需求是连续的，均匀的；4．每次订货量不变，订货费不变；5．单位存储费不变。基于此模型，我们假设：D为需求率，是指单位时间内对某种物品的需求量；Q为订货量，表示在一次订货中，包含某种货物的数量；C为商品每次的订货费；Cp为单位商品、单位时间的存储费；t为订货间隔，表示两次订货之间的时间间隔。B．假设需求随机的，考虑中断损失情况，我们所假设的模型具有以下特点：1．允许缺货，有缺货损失费；2.当库存降为零后还可以再等一段时间后订货；33．每次得到订货量后，立即支付给顾客，以补充最大缺货量；4.需求是连续的，均匀的；5.每次订货量不变，订货费不变；6.单位存储费不变；基于此模型，我们假设：D为需求率，是指单位时间内对某种物品的需求量；Q为订货量，表示在一次订货中，包含某种货物的数量；C为商品每次的订货费Cp为单位商品、单位时间的存储费；t为订货间隔，表示两次订货之间的时间间隔；t1为t中不缺货时期；t2为t中缺货时期；S为最大缺货量；Cs为缺货损失单价。C.假设需求随机的，可进一步考虑有替代品的情况下的最佳进货策略，我们所假设的模型具有以下特点：1.需求是连续的，均匀的；2当原商品库存降为零后，可以立即由替代品得到补充，替代品库存降为0后，便立即订货；3每次订货时原商品和替代品各自订货量不变，各自订货费也不变；4由于原商品和替代品有很大共同属性，这里不妨假设两种商品4单位存储费相同且不变；基于此模型，我们假设：D为需求率，是指单位时间内对某种物品的需求量；Q为总订货量，表示在一次订货中，包含两种种货物的数量；S为原商品最大缺货量，即替代品的订货量；t为订货间隔，表示两次订货之间的时间间隔；t1为t中原商品存在时期；t2为t中替代品代替原商品补充的时期；Cp为单位商品、单位时间的存储费；C为原商品每次的订货费；C*为替代品每次的订货费。三模型的建立及问题分析分为A、B、C三种情况，A（对假设A进行模型建立）由上述假设，在一个周期内最大库存量为Q，最小库存量为0，并且需求是连续均匀的，于是在一个周期内，其平均库存量为12Q，因此，平均存货费=存储费×平均库存量=12Cp×Q，可做出库存量关于时间的函数图（由于未掌握相关数学作图软件，5在此只有手工作图，有模糊或不精确的地方还请谅解），如下，图表1由于在最初时刻，订货量为Q，经过时间t后存储量为0，需求量为D，且连续均匀变化，因此，得到订货量Q，需求量D和订货周期t之间的关系为：t=QD，设每次的订货费用为C，于是得到平均订货费=订货费订货时间间隔=Ct=CDQ，对于此模型平均库存总费用=平均存货费+平均订货费即F（Q）=12Cp×Q+CDQ，订货量的最优值由F（Q）关于Q的最小值求出假设Q是连续的找到Q的最优值的一阶必要条件为dF(Q)dQ=12Cp-CDQ2，得到一个驻点Q*=√2CDCp.，验证驻点的二阶条件由于d2F(Q)dQ2=2CDQ′30,所以Q*是函数F（Q）最小值点，其最优库存总费用为，6F*=12Cp×Q*+CDQ∗=√2CCpD，因此这个模型的最优存储策略为每隔t*=Q∗D=√2CCpD.，单位时间，就订Q*单位货物，每个单位时间的最优库存总费用为√2CCpD个单位费用。B（对假设B进行模型的建立）由假设B，Q-S为最大库存量，可得出允许缺货模型的库存量关于时间的函数图（此处也给出手工做出的图），如下，图表2因此，得到需求率、最大库存量、最大缺货量、不缺货时期和缺货时期之间的关系为，t1=Q−SD,t2=SD,t=QD.在不缺货时期t1内，最大库存量为Q-S，最小库存量为0，因此，其平均库存量为12（Q-S）。在缺货时期t2内，库存量为0，因此，一个周期内的平均库存量为，7平均库存量=12(Q−S)+0×t2t1+t2=(Q−S)t12t.由以上式子得到，平均库存量=（Q−S)22Q.因此，可以得到一个周期内的平均缺货量为，平均缺货量=0×t1+S×t2×12t1+t2=S×t22t=S22Q.对于允许缺货的经济定购批量存储摸型，平均库存总费用=平均存货费+平均缺货费+平均订货费=存储费×平均库存量+缺货损失费×平均缺货量+平均订货费，即F（Q，S）=Cp（Q−S）22Q+CsS22Q+CDQ.利用多元函数极值最优性条件求F（Q，S）的极小点。由一阶必要条件得dFdS=1Q[(Cp+Cs)S-Cp×Q]=0，dFdQ=-1Q2[12Cp(Q−S)2+12CsS2+CD]+1QCp（Q-S）=-12Q2[Cp（Q−S）2+CsS2-2Cp（Q-S）+2CD]=0.于是得到S*=CpCp+CsQ*,Q*=√2CD(Cp+Cs)Cp×Cs.接下来验证二阶充分条件。由于函数F(Q,S)的Hesse矩阵8[d2FdQ2d2FdQdSd2FdSdQd2FdS2]=[(Cs+Cp)S2+2CDQ3−(Cp+Cs)SQ2−(Cp+Cs)SQ2Cp+CsQ]正定，所以由两式得的Q*和S*为极小值，利用上式得到t*=Q∗D,F*=Cp(Q∗−S∗)22Q+CDQ′+Cs(S∗)22Q∗=√2CpCsCDCp+Cs即允许缺货的经济订购批量储存模型的最有储存策略为每隔t*单位时间就定Q*单位货物，其允许缺货量为S*单位货物，每个单位内的最有库存总费用为√2CpCsCDCp+Cs个单位费用。当Cs0，Cp0时有Cp+CsCs1,因此，由上式得到Q*缺货=√2CD(Cp+Cs)CpCs√2CDCp=Q*不缺货，F*缺货=√2CpCsCDCp+Cs√2CpCD=F*不缺货，上式表明，允许缺货模型的最优库存量要大于不允许缺货的最优库存量，每次订货的时间间隔要比不允许缺货模型的间隔长，而最优库存总费用会下降，因此，在条件允许的情况下，应当利用允许缺货模型来降低库存总费用。考虑当Cs趋向于无穷大(即不允许缺货)有S*→0和Cp+CsCs→1因此得到Q*缺货→Q*不缺货，t*缺货→t*不缺货，F*缺货→F*不缺货。因此，从这个角度来看，不允许缺货模型实际上是允许缺货模型的特例。9C（对假设C进行模型的建立）由假设C，原商品和替代品各自库存量关于时间的函数图（此处也给出手工做出的图），如下，图表3在一个周期内，最大库存量也为Q,最小库存量为0，并且需求是连续的，于是在一个周期内，平均库存量为12Q，平均库存费=存储费×平均库存量=12Cp×Q，又得到需求率、最大库存量、最大缺货量、不缺货时期和缺货时期之间的关系为，t1=Q−SD,t2=SD,t=QD.原商品平均订货费=CDQ×Q−SQ，替代品平均订货费=C∗DQ×SQ，因此，平均库存总费用=平均存货费+平均订货费F(Q,S)=12Cp×Q+CDQ×Q−SQ+C∗DQ×SQ10=12Cp×Q+CDQ+(C∗−C)DSQ2,利用多元函数极值最优性条件求F（Q，S）的极小点。由一阶要条件得,dFdQ=12Cp-CDQ2-2(C∗−C)DSQ3,dFdS=(C∗−C)DQ2,(1)当C*=C时，dFdQ=12Cp-CDQ2，dFdS=0，此时跟假设A的情况一模一样，这个模型的最优存储策略为每隔t*=√2CCpD.个单位时间订货，可求得每个单位时间的最优库存总费用为(√2CCpD)个单位费用。(2)当C*≠C时,dFdS≠0,可见此时找不出一个驻点S*，F(Q,S)关于S(S≠0)是单调函数，这里只有将S看作一个常量，于是，令dFdQ=12Cp-CDQ2-2(C∗−C)DSQ3=0，此处考虑到解Q*是解一个关于Q*的一元三次方程，难以解出，所以在此只有按照C*的取值来讨论不同情况，如下，若C*C,Q*√2CDCp.,则t*=Q∗D√2CCpD.11若C*C,Q*√2CDCp.,则t*=Q∗D√2CCpD.以上过程这说明,（1）当替代品价格等于原商品价格时，有替代品模型的最优库存量于不允许缺货的最优库存量都为√2CDCp.，每次订货的时间间隔于不允许缺货模型的间隔都为√2CCpD.；（2）当替代品价格高于原商品价格时，有替代品模型的最优库存量要适当大于不允许缺货的最优库存量√2CDCp.，每次订货的时间间隔要比不允许缺货模型的间隔√2CCpD.适当长；（3）当替代品价格低于原商品价格时，有替代品模型的最优库存量要适当小于不允许缺货的最优库存量√2CDCp.，每次订货的时间间隔要比不允许缺货模型的间隔√2CCpD.适当短一些。四模型的评价为了对模型进行合理评价，我们小组特地对校园超市的商品的销售情况以及进货情况进行为期一周的调查，以下是12我们对美年达销售情况的调查结果，电子科技大学清水河校区校园超市2012~2013学年上半学期第十四周美年达销售情况统计星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日销售量/瓶21242631252827进货量/瓶007200720根据调查发现同学们每天对美年达的需求量浮动不大，所以对美年达需求率比较稳定，因此我们的假设需求率为不变量是合理的，而且假设的商品价格与存储费是不变量显然比较合理。调查后我们用建模的结果进行计算，根据t=√2CCpD.,算出最佳进货方案为每隔2.8≈3天，与实际比较符合，所以我们所建模型比较可靠。五参考文献1《微积分上册(第2版)》——傅英定、谢云荪；2《微积分下册(第2版)》——傅英定、谢云荪；3《线性代数与空间解析几何(第3版)》——黄廷祝、成孝予；