步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件：专题三 第3讲 推理与证明

专题三第3讲第3讲推理与证明【高考考情解读】1．高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2．归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲主干知识梳理1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由特殊到特殊的推理②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲主干知识梳理2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲主干知识梳理3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲主干知识梳理4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破考点一归纳推理例1(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为nn＋12＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破六边形数N(n,6)＝2n2－n………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝______.解析由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，∴N(10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1100－100＝1000.1000本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破(1)在数列{an}中，若a1＝2，a2＝6，且当n∈N*时，an＋2是an·an＋1的个位数字，则a2014＝________.解析由a1＝2，a2＝6，得a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…，据此周期为6，又2014＝6×335＋4，所以a2014＝a4＝2.2本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破(2)(2012·江西改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.解析令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.123本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破考点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－b2a2.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破解析(1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V1V2＝127.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.将A，B代入双曲线x2a2－y2b2＝1中得x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破两式相减得x21－x22a2＝y21－y22b2，即x1－x2x1＋x2a2＝y1－y2y1＋y2b2，即y1－y2y1＋y2x1－x2x1＋x2＝b2a2，即kOM·kAB＝b2a2.答案(1)127(2)b2a2本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破(2)命题p：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ab0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破解析(1)两个正方体重叠部分的体积为一个常数，可考虑极端情况，即两个正方体重叠部分恰好构成一个棱长为a2的正方体，这个小正方体的体积为a38.(2)对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝12F1Q.而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破对于双曲线，过F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a.因为OM＝12F1Q＝12(PF1－PF2)＝12·2a＝a.答案(1)a38(2)内角平分线a本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破考点三直接证明与间接证明例3已知数列{an}满足：a1＝12，31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，anan＋10(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2n＋1－a2n(n≥1)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．(1)解已知31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1化为1－a2n＋11－a2n＝23，而1－a21＝34，所以数列{1－a2n}是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a2n＝34×23n－1，则a2n＝1－34×23n－1，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破由anan＋10，知数列{an}的项正负相间出现，因此an＝(－1)n＋11－34×23n－1，bn＝a2n＋1－a2n＝－34×23n＋34×23n－1＝14×23n－1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设mnp，而bn＝14×23n－1随n的增大而减小，那么只能有2bn＝bm＋bp，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破可得2×14×23n－1＝14×23m－1＋14×23p－1，则2×23n－m＝1＋23p－m.当n－m≥2时，2×23n－m≤2×232＝89，上式不可能成立，则只能有n－m＝1，此时等式为43＝1＋23p－m，即13＝23p－m，那么p－m＝，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．31log32本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列．(1)证明假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{an}不是等比数列．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题三第3讲热点分类突破(2)解因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋123an－2n＋14＝－23(－1)n·(an－3n＋21)＝－23bn，又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－23bn，可知bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N