直线和圆(复习)-圆的方程复习――吴哲

则圆C与l相离Δ＜0,圆C与l相切Δ=0，圆C与l相交Δ＞0.(1)直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。判断直线与圆的位置关系的方法常见的有两种方法：1.直线与圆的位置关系①代数法：由圆C方程及直线L的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δddd.O.O.Orrr相离相切相交1、直线与圆相离=dr2、直线与圆相切=d=r3、直线与圆相交=drlll②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径的大小关系外离|O1O2|R+r|O1O2|=R+rR-r|O1O2|R+r|O1O2|=R-r|O1O2|R-r外切相交内切内含rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O22.圆与圆的位置关系设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法①几何方法：②代数方法：rdABO222||drAB]4))[(1(||22BABAxxxxkAB解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法其中K是直线的斜率，XA、xB是直线和圆交点的横坐标①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2．4.过圆上一点的切线方程：返回5.相交弦方程⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.6.圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．返回例1.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）（1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程（1）解法1：047)1()12(25)2()1(22mymxmyx0的一元二次方程得关于消xy解法2：5265103025265)34(169265169265|13|)1()12(|47)1(212|2222222222mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmd∴直线l与圆恒交于两点分析：对于直线和圆的位置关系的判断，除了用代数法或几何法。由于本题直线与圆恒交于两点，则可以考虑直线恒过圆内定点。解法3：（1）直线l的方程可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0因为m∈R1304072yxyxyx即l过定点A（3，1）因为圆心C（2，1），)(55||半径AC所以点A在圆C的内部，从而直线l与圆恒交于两点（2）若直线L交圆与B、D两点，则弦长21ACK由得直线l的方程是2x-y-5=0当弦长|BD|最小时，d最大，则l⊥AC2222522||ddrBD例2.如图自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被X轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求射线L的直线方程CxyoA解法1：由已知圆的标准方程是（x-2）2+（y-2）2=1设光线L所在直线的方程是y-3=k（x+3），则k≠0于是L与x轴的交点（反射点）的坐标是)0,()1(3KK因为入射角等于反射角，所以反射线l’所在直线的方程是][)1(3kkxky整理得kx+y+3k+3=0这条直线与已知圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径1344321|55|012251212kkkkkk或即故所求直线的方程是）（）或（33334334xyxy即：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0解法2：由已知圆的标准方程是（x-2）2+（y-2）2=1所以圆C关于x轴的对称圆C’：（x-2）2+（y+2）2=1令l的方程：y-3=k（x+3），即kx-y+3+3k=0所以直线l与圆C’相切34431|3322|12kkdkkk或所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0xyoCAC’解法3：点A（-3，3）关于x轴的对称点A’（-3，-3）在反射光线的反向延长线上，所以设反射光线所在直线的方程为y+3=k（x+3）即kx-y+3k-3=043341|55|12kkdkk或所以L的斜率4334kk或所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0CAxyoA’返回例3.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.返回解法二：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．1x2+y2=4上，与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标是()(A)8/5，6/5(B)8/5，-6/5(C)-8/5，6/5(D)-8/5，-6/5A2⊙O1：x2+y2=2⊙O2:(x-2)2+(y-3)2=1,则以M(1，1)为切点的⊙O1的切线方程为,过点M作⊙O2的切线，其方程为，此时M点到切点的距离为.2⊙O1：x2+y2=2⊙O2:(x-2)2+(y-3)2=1,则以M(1，1)为切点的⊙O1的切线方程为x+y=2,过点M作⊙O2的切线，其方程为3x-4y+1=0和x=1，此时M点到切点的距离为2.练习4.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直线l：x-y+3=0当直线l被C截得的弦长为时，则a=()(A)(B)(C)(D)3222-21-2123.两圆x2+y2-6x+4y+12=0和x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系是()(A)相离(B)外切(C)相交(D)内切CC返回5.直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-5y=0交于两点A、B，且OA⊥OB(O为原点)，求m的值.返回返回6．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B.求：(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；(2)直线AB的方程；(3)线段AB的长.