高等数学微分中值定理应用举例

1微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数)(xf在0,1上//()0fx，比较//(1),(0),(1)(0)ffff的大小.解：)(xf在0,1上满足拉氏中值定理条件，存在0,1，使得/(1)(0)()fff.由于//()0fx，所以/()fx单调增加，而01，所以///(0)()(1)fff，即//(0)(1)(0)(1)ffff.2.函数)(xf在0,1上/////()0,(0)0fxf，比较//(1),(0),(1)(0)ffff的大小.解：由于///()0fx，所以//()fx单调增加，而//(0)0f，所以在0,1上//()0fx，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)ffff3.()()fxfx在0,内///()0,()0fxfx,判断在,0内///(),()fxfx的符号.解：()()fxfx，所以)(xf在,内为奇函数，/()fx为偶函数，//()fx为奇函数，在0,内///()0,()0fxfx，所以在,0内///()0,()0fxfx.4.已知函数)(xf在区间1,1内具有二阶导数,且/()fx严格递增,/(1)(1)1ff，则：A.在1,1内均有()fxx；B.在1,1,1,1内均有()fxx；C.在1,1内均有()fxx，在1,1内均有()fxx；D.在1,1内均有()fxx，在1,1内均有()fxx.解：令()()Fxfxx，则(1)(1)10Ff，//()()1Fxfxx1,1x1x1,1x//()()1Fxfx/()0Fx0/()0Fx()()Fxfxx()Fx减0()Fx增()0Fx极小值()0Fx选择B.25.设)(xf处处可导,则A.lim()xfx必/lim()xfx；B./lim()xfx必lim()xfxC.lim()xfx必/lim()xfx；D./lim()xfx必lim()xfx解：选择D(A,C的反例yx，B的反例2yx)6.设函数)(xf在0,上有界且可导，则A.lim()0xfx必/lim()0xfx;B./lim()xfx存在，必/lim()0xfx；C.0lim()0xfx必/0lim()0xfx;D./0lim()xfx存在，必/0lim()0xfx；解：选择A(B,C,D的反例()fxx)7.设函数)(xf在0x的邻域内连续,且(0)0f，0()lim21cosxfxx，则在0x处A.)(xf不可导;B.可导,且/(0)0f;C.取极大值;D.取极小值解：20000()()1()(0)1()(0)limlim2lim2lim21cos002xxxxfxfxfxffxfxxxxxx所以0000()(0)1()(0)1()(0)limlimlimlim0000xxxxfxffxffxfxxxxxxx所以)(xf在0x可导，且/(0)0f.0()lim21cosxfxx，而1cos0,20x，所以在0x的某邻域内()0fx，(0)0f所以在0x处)(xf取极小值.8.(),()fxgx为恒大于0的可导函数,且//()()()()0fxgxfxgx，则当axb时A.()()()()fxgbfbgx；B.()()()()fxgafagx;C.()()()()fxgxfbgb;D.()()()()fxgxfaga解：///2()()()()()0()()fxfxgxfxgxgxgx，所以()()fxgx为减函数，即当axb时()()()()()()fbfxfagbgxga，又(),()fxgx为恒大于0，3所以()()()()fxgbfbgx，选择A9.设)(xf有二阶连续导数,且/(0)0f，//0()lim1xfxxA.(0)f是()fx的极大值;B.(0)f是()fx的极小值;C.0,(0)f是曲线()yfx的拐点;D.(0)f不是()fx的极值;0,(0)f也不是曲线()yfx的拐点.解：//0()lim10xfxx，所以在0x的邻域内//()0fx，即曲线是凹的，又/(0)0f，所以(0)f是)(xf的极小值.选择B10.设函数)(xf在xa的某个邻域内连续,()fa为)(xf的极大值,则存在0,当,xaa时,必有:A.()()0xafxfa；B.()()0xafxfa;C.2()()lim0()()taftfxxatx；D.2()()lim0()()taftfxxatx.解：()fa为)(xf的极大值，则存在0，,xaa和,xaa时，都有()()fxfa，所以,xaa时,()()0fxfa，所以A,B都不正确.22()()()()lim()()taftfxfafxtxax，由于()()0fafx，所以2()()0()fafxax.选择C11.设函数)(xf在,内有定义,00x是函数)(xf的极大值点,则A.0x必是)(xf的驻点;B.0x必是()fx的极小值点C.0x必是()fx的极小值点;D.对一切x都有0()()fxfx解：选择B12.2()()lim1()xafxfaxa，则在xa处4A.)(xf导数存在,且/()0fa；B.取极大值;C.取极小值;D.)(xf导数不存在解：2()()lim1()xafxfaxa，所以在xa的某去心邻域内有()()0fxfa，所以在xa处，)(xf取极大值.9.证明：(1,2,)nnn的最大值证明：令1()xfxx(1)x，1ln()xxfxe，11/222111()ln1lnxxfxxxxxxxx，所以xe时/()0fx，且xe时/()0fx，xe时/()0fx，所以()fe时1()xfxx的唯一极大值，也是最大值.而(1,2,)nnn的最大值必是32,3中的一个，而323，所以33是(1,2,)nnn的最大值.不等式的证明1.当0x时，证明：1arctan2xx；证明：令1()arctan2fxxx/2211()01fxxx，所以0x时1()arctan2fxxx单调减，而1lim()limarctan02xxfxxx，所以0x时，1()arctan02fxxx，即1arctan2xx.2.当0x时，证明：11ln(1)1xx；证明：0x时，令11()ln(1)1fxxx，/222111()01(1)1xfxxxxxx，()fx单调减，而11lim()limln(1)01xxfxxx，5所以0x时，11()ln(1)01fxxx，即11ln(1)1xx.方法二，0x时，1ln(1)ln(1)lnxxx，令()lnfxx，则在区间,1xx上用拉格朗日中值定理有：/11ln(1)ln(1)ln()xxfx其中1xx，所以1111xx，即有11ln(1)1xx.3.证明：221ln(1)1xxxx；证明：设22()1ln(1)1fxxxxx则/2222122()ln(1)(1)12121xxfxxxxxxxx2ln(1)xx，令//()0fx，得唯一驻点0x//21()01fxx，所以0x是()fx的极小值点，所以()(0),fxf又(0)0f所以()0fx，即221ln(1)1xxxx.4.当1x，证明ln(1)ln1xxxx；证明：因为1x，所以ln,10xx，所证等价于1ln(1)lnxxxx零()lnfxxx，则/()ln10fxx，所以1x时()lnfxxx单调增加，而11xx，所以(1)()fxfx，即1ln(1)lnxxxx，即ln(1)ln1xxxx.5.1,xae，证明：()()aaxaxa；证明：只需证ln()()lnaaxaxa令()ln()()lnfxaaxaxa，则/()lnafxaax，//2()0afxax所以/()fx单调减少，而/(0)1ln0fa，所以10x时//()(0)0fxf即()fx单调减少，而(0)0f，所以10x时()(0)0fxf，即ln()()lnaaxaxa，即()()aaxaxa.66.设bae，证明：baab证明：只需证明lnlnbaab，设()lnlnfxxaax，///2()ln,()0aafxafxxx，所以/()lnafxax单调增加，又/()ln10faa，所以bxae时/()ln0afxax，故()lnlnfxxaax单调增加.因此，bxe时()lnln()fxbxxbfa，而()0fa，所以()lnln0fbbaab，即bae时，lnlnbaab.所以baab.7．设()fx在0,上可导，且/()fx单调递减，证明：对任意正数,ab，都有1()(2)(2)2fabfafb证明：不妨设0ab，令1()()(2)(2)2Fxfaxfafx则///()()(2)Fxfaxfx，当xa时有2axx，由于/()fx单调递减所以//()(2)faxfx，即/()0Fx，所以()Fx单调增，即xa时()()FxFa所以0ab时，1()()(2)(2)02Fbfabfafb，即1()(2)(2)2fabfafb.8.设//0()lim1,()0xfxfxx，证明：()fxx；证明：//()fx存在，所以()fx可导，所以()fx可导连续，又0()lim1xfxx，所以00()(0)lim()lim0xxfxffxxx，既有/00()()(0)limlim(0)1xxfxfxffxx令()()Fxfxx，//////()()1,()()0FxfxFxfx，//(0)(0)10Ff，所以0x是()()Fxfxx的唯一极小值点，所以()()(0)FxfxxF，(0)0F既有()fxx.9.0,1x，证明：221ln(1)xxx；7证明：令22()1ln(1)fxxxx，/2()ln(1)2ln(1)2fxxxx//ln(1)12()222ln(1)111xfxxxxxx令()ln(1)gxxx，/1()11gxx，所以0,1x时/()0gx，()gx单调减()(0),(0)0gxgg，所以()0gx，而此时201x，所以//()0fx，而/(0)0f所以0,1x时，0,1x时，//()(0)0fxf，所以()fx在0,1x时单调减少，且(0)0f，所以0,1x时22()1ln(1)